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Sommaire
1 Revue des puissances d'exposants entiers
2 Exposants fractionnaires
2.1 Racines n-ièmes
2.2 Puissances fractionnaires
2.2.1 Domaines de définition des puissances fractionnaires
[modifier (
modifier-579-section-1.cours)]Revue des puissances d'exposants entiers
On sait définir les puissances d'exposant entier :
La propriété
que l'on décide de rendre valide même pour donne
ce qui mène à poser
et la même formule pour donnerait
ce qui nous conduit à poser
sauf si sinon, on aurait
ce qui ne définit nullement
puisque n'est pas défini.
On posera donc
La propriété
vérifiée pour
peut être étendue à toutes valeurs entières de , ce qui conduit à
(avec si
)
[modifier ( modifier-579-section-2.cours)]Exposants fractionnaires
[modifier ( modifier-579-section-3.cours)]Racines n-ièmes
On peut poser
puisque la racine carrée de est le nombre (positif) dont le carré vaut
:
Cette remarque vaut pour les racines cubiques, quatrièmes, etc. :
, etc.
[modifier ( modifier-579-section-4.cours)]Puissances fractionnaires
On peut écrire de deux manières différentes le nombre noté :
et aussi
On retiendra donc
[modifier ( modifier-579-section-5.cours)]Domaines de définition des puissances fractionnaires
On peut toujours écrire en mettant l'exposant sous forme de fraction irréductible.
Cette fraction ne peut avoir un numérateur et un dénominateur également pairs (sinon, on pourrait la simplifier par 2).
Donc, au moins l'un des deux nombres est impair.
Si est pair et
impair,
est défini pour tout
:
ainsi , qui est toujours défini.
Si est impair et
est impair,
n'est défini que si
; par exemple,
n'est défini que si
.
Le signe de l'exposant ne pose aucun problème, ainsi