Groupe : Visiteur

Chemin : Daskoo > Cours > Mathématiques > CI 17 - Suite d'intégrales - Corrigé

CI 17 - Suite d'intégrales - Corrigé

Dernière version du 28.12.2008 02h14

$Formule mathématique$

1) Calculons

$Formule mathématique$

(voir leçons sur les bijections réciproques)

$Formule mathématique$

En effet, il est évident que

$Formule mathématique$

2) Supposons que $Formule mathématique$ : On peut écrire

$Formule mathématique$

En posant

$Formule mathématique$

et

$Formule mathématique$ ,

une intégration par parties de routine donne :

$Formule mathématique$

Le crochet est indentiquement nul ; il reste au second membre l'intégrale, qui s'écrit

$Formule mathématique$

$Formule mathématique$

En tout, on obtient

$Formule mathématique$

soit finalement :

$Formule mathématique$

3) Remarquons que

$Formule mathématique$

et calculons

$Formule mathématique$

$Formule mathématique$

$Formule mathématique$

$Formule mathématique$

Ecrivons

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

D'où en multipliant membre à membre et en simplifiant,

$Formule mathématique$

De même :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
....
$Formule mathématique$

En multipliant membre à membre et en simplifiant, on obtient :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

4) Exprimons explicitement en fonction de $Formule mathématique$ (entier naturel) les valeurs de

$Formule mathématique$ :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
....
$Formule mathématique$

En multipliant membre à membre et en simplifiant, on obtient

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Donc finalement,

$Formule mathématique$

Pour nous détendre, faisons juste une petite vérification :
Pour $Formule mathématique$ ,

$Formule mathématique$

Il reste

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
....
$Formule mathématique$

En multipliant membre à membre et en simplifiant, on obtient

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

ce qui s'écrit finalement

$Formule mathématique$

Encore une dernière fois, vérifions avec $Formule mathématique$ :

$Formule mathématique$

Dernière mise à jour: le 28.12.2008 à 03:14
Licence: Libre de partager, modifier - Devoir de citer la source - Pas d'utilisation commerciale
Daskoo.org, partage de cours