PR5 - Exemple de loi multinômiale - Corrigé

Dans une classe de 30 élèves de Terminale, on estime que la probabilité pour un élève pris au hasard de réussir le Baccalauréat avec mention est 0,2, et que celle de réussir le Baccalauréat sans mention ("passable" avec ou sans rattrapage oral) est 0,5.

Les élèves passent tous l'examen du Baccalauréat.

1) Calculons la probabilité, en général, pour qu'il y ait m reçus avec mention, n reçus sans mention, et (30 - m - n) recalés :

La probabilité pour que les m premiers élèves par ordre alphabétique soient reçus avec mention, les n suivants toujours par ordre alphabétiques soient reçus sans mention, et les derniers par ordre alphabétiques soient recalés est

En effet, c'est la probabilité de l'événement

où l'on a noté :
="le premier de la liste alphabétique est reçu avec mention"
="le second de la liste alphabétique est reçu avec mention"
...
="le (m+1)-ième de la liste alphabétique est reçu "passable" (sans mention)
...
="le 30e de la liste alphabétique est recalé".

Or les reçus avec ou sans mention ne le sont pas selon leur place dans l'ordre alphabétique, mais se trouvent n'importe où sur la liste alphabétique.

Il faut donc multiplier cette probabilité p par le nombre de permutations significatives des élèves dans la classe.

Il y a a priori permutations des 30 élèves de la classe.
Cependant, permuter entre eux les m reçus avec mention ne change rien au résultat. Il faut donc diviser le nombre trop grand de permutations, , par .
De même, il faut aussi le diviser par et par .

En fin de compte, la probabilité d'avoir m reçus avec mention, n reçus sans mention et 30 - m - n recalés est

2) Calculons la probabilité pour qu'il y ait 30 reçus avec mention :

3) Calculons la probabilité pour qu'il y ait 30 reçus sans mention :

4) Calculons la probabilité pour que tous les 30 soient recalés :

5)

Vérifions que c'est la plus grande valeur parmi toutes les probabilités d'obtenir m reçus avec mention, n reçus sans mention et le reste recalé :

Que les valeurs de x et y soient négatives ou positives, cette différence calculée par exemple avec un ordinateur ou une calculatrice programmable est toujours positive. On prouve cela facilement avec la loi binômiale

Généralisation
Si l'on a une partition de l'univers des possibles :

c'est-à-dire une famille de événements
- non vides
- dont la réunion est l'univers
- disjoints deux à deux

alors la probabilité d'obtenir en expériences aléatoires indépendantes, fois , fois ,..., fois (avec ) est

où l'on a noté pour abréger l'écriture.