Dernière version du 28.01.2009 22h51
Indications :
1) (à prouver si l'on ne sait pas encore le pourquoi de cette formule) :
2) Formule "magique" (à prouver également à titre d'exercice si l'on ne la connaît pas, car elle sert très souvent et se montre extrêmement utile, facilite un tas de travaux) :
A titre d'exercices, prouvons 1) et 2), qui sont toutes 2 bien utiles :
1)
, mais on peut écrire dans l'ordre inverse :
Additionnons les deux égalités membre à membre, en groupant les 2 premiers termes, les 2 seconds, ..., les 2 derniers :
comme il y a n termes dans chaque somme S, cela fait aussi n parenthèses, donc
et finalement
2)
Or le premier membre se simplifie en , d'où la "formule magique".
Résolvons à présent la question de l'escalier en Lego :
Le nombre x de cubes empilés en hauteur, ou hauteur de l'escalier, doit être tel que le nombre de cubes nécessaires ne doit pas excéder 184 :
soit
ou
Niveau Seconde : résolution par la "formule magique" :
L'inégalité précédente s'écrit
soit
ou
Ou (on se limite à une approximation au dixième, vu que x est entier !
on peut faire un tableau de signes :
| Produit |
On voit que l'on doit avoir x compris entre -19,6 (env.) et 18,6 (env).
Bien sûr, on doit éliminer la possibilité d'avoir des x < O.
La solution à ce problème est x = 18.
Le nombre de cubes utilisés est
et il restera donc 184 - 171 = 13 cubes inutilisés.
Niveau Première :
On cherche le signe du trinôme
Son discriminant est
Les racines de ce trinôme sont :
et
Le trinôme est du signe de a=1, c'est-à-dire positif, à l'extérieur des racines.
Il est négatif à l'intérieur des racines (c'est ce qu'on voulait), donc on doit avoir
La plus grande valeur entière de x est bien 18.