Dernière version du 09.02.2009 03h49
Soient A,B,C trois points distincts du plan.
Trouver
1) L'ensemble E des points M du plan tels que
Posons et
= centre de gravité de ABC (ou isobarycentre de A, B, C})
Alors, l'égalité fondamentale permet d'écrire (1) sous forme
soit
.
L'ensemble E est l'ensemble des points équidistants de H et G, càd leur médiatrice.
2) L'ensemble F des points M du plan tels que
Définissons .
D'autre part, puisque 2 - 1 - 1 = 0, le second membre peut s'écrire (en remplaçant M par A) :
L'équation (2) s'écrit donc
soit
Ainsi, l'ensemble F est un cercle de centre G et de rayon
3) (On pourra ici utiliser les coordonnées suivantes : )
L'ensemble "H des points M'' du plan tels que
Si l'on pose
L'équation (3) s'écrit
soit
Les coordonnées de G et H sont
et
L'équation (3) équivaut à
soit
ce qui se simplifie en
On reconnaît l'équation d'un cercle, dont on reconnaît les caractéristiques en écrivant l'équation sous forme
soit
L'ensemble H est un cercle de centre et de rayon
Autre méthode de résolution (1ère S)
L'équation (3) s'écrit
ou
Ceci se factorise en un produit scalaire
Soit
Ce dernier produit scalaire s'écrit
ce qui veut dire et
appartient au cercle de diamètre