Dernière version du 13.10.2009 16h53
Sommaire
1 Introduction
2 Applications
2.1 Diviseur et multiple des nombres
2.2 L'algorithme d'Euclide
3 Conclusion
[modifier (
modifier-61-section-1.cours)]Introduction
Ce cours sur le PGCD est destiné aux 4eme et 3eme en France (voir la correspondance entre les différents niveaux scolaires afin d'adapter ce niveau au vôtre).
Tout d'abord le PGCD, c'est le sigle barbare pour "Plus Grand Commun Diviseur". L'adjectif commun, n'est pas après le mot diviseur, c'est étrange, mais il paraît que ça vient de l'ancien français.
[modifier ( modifier-61-section-2.cours)]Applications
Le PGCD sert, entre autres, à simplifier une fraction pour la rendre irréductible (la plus petite possible pour ceux qui ne le savent pas 
).
Alors dans ce cours je vais vous expliquer la méthode d'Euclide, plus connue sous le nom d'algorithme d'Euclide.
Bon alors, vous êtes prêts on commence...
[modifier ( modifier-61-section-3.cours)]Diviseur et multiple des nombres
Pour utiliser le PGCD, il est important de connaître les notions de multiple et de diviseur,
ainsi que les règles basiques pour trouver certains diviseurs (et multiples).
-Pour qu'un nombre soit divisible par 2 il faut que son dernier chiffre soit un chiffre pair (exemple: 0,2,4,6,8).
-Pour qu'un nombre soit divisible par 3 il faut que sa somme soit un multiple de 3 (exemple: 954 , 9+5+4=18=3*6).
-Pour qu'un nombre soit divisible par 5 il faut que son dernier chiffre soit un 5 ou un 0.
-Pour qu'un nombre soit divisible par 9 il faut que sa somme soit un multiple de 9 (exemple 954, 9+5+4=18=2*9).
Alors il y en a d'autres, comme par exemple pour 11 mais on ne s'en servira presque pas.
Alors maintenant on va commencer par trouver tous les diviseurs d'un nombre.
Exemple:
256 est divisible par combien ??
Alors c'est très simple mais un peu long: on va décomposer le nombre en partant de ses extrémités. Regardez bien l'exemple.
256 est divisible par 1, 256
256 est divisible par 1, 2, 128, 256
256 est divisible par 1, 2, 4, 64, 128, 256
256 est divisible par 1, 2, 4, 8, 32, 64, 128, 256
Alors vous allez me dire mais quel est l'intérêt de faire ça... Tout simplement si vous avez deux nombres, vous faîtes comme j'ai fait et vous prenez le plus grand nombre commun aux deux. Là vous pourrez par exemple simplifier votre fraction en divisant les deux nombres par le plus grand nombre commun, ou dire si les nombres sont premiers entre eux (indivisibles).
Mais le défaut de cette méthode c'est quelle est longue...
Alors qu'il y a une méthode bien plus rapide.
[modifier ( modifier-61-section-4.cours)]L'algorithme d'Euclide
On reprend notre fraction de départ qui est : 192/696
On souhaite la simplifier. Pour cela nous allons utiliser l'algorithme d'Euclide.
Cette méthode est toute simple mais assez difficile à expliquer.
Il faut pour commencer prendre le plus grand nombre de votre fraction et le diviser avec le second,
ce qui donnera pour notre fraction 696/192 = 3.625
Mais on ne garde que la partie entière c'est-à-dire 3.
Maintenant il faut trouver le reste de notre fraction, on procède de la manière suivante:
192 * 3 = 576
696 - 576 = 120
Alors maintenant on divise 576 par 120 puis on trouve le reste et on divise 120 par le nouveau reste ainsi de suite.
Cette méthode est plus courte que la première et peut être demandée au brevet.
Sur la calculette "Casio collège" il y a une touche qui correspond à diviser par le reste (/R)
Alors comment sait-on quand s'arrêter ?
Tout simplement lorsque le reste est égal à 0 ou 1.
Et à ce moment là on dit que le PGCD correspond au dernier reste non nul.
Ce qui donne pour notre fraction
696 / 192 = 3.625
192 * 3 = 576
696 - 576 = 120
576 / 120 = 4.8
4 * 120 = 480
576 - 480 = 96
120 / 96 = 1.25
120 - 96 = 24
96 / 24 = 4
Ouf !! enfin c'est fini 
Le dernier reste non nul est 24
Notre PGCD de 696 et 192 est 24. On va donc pouvoir simplifier notre fraction 
192/696 = (192/24) / (696/24) = 8/29
[modifier ( modifier-61-section-5.cours)]Conclusion
Et voila! Vous savez donc maintenant trouver le PGCD d'un nombre grâce à la méthode d'Euclide.
C'est une connaissance très importante en 3ème car vous êtes sûr de trouver un exercice sur le sujet au brevet des collège.
Bonne continuation ! 