MECA3 - Machine d'Atwood - Corrigé

Première méthode

Appelons du même nom x le déplacement de m et M.
Soit t la tension du fil appliqué sur m et T la tension du fil appliqué sur M.
Soit t' la tension du fil appliquée à la poulie du côté de m et T' la tension du fil appliquée à la poulie du côté de M.
Si l'on considère le tronçon de fil reliant m à la poulie, on peut lui appliquer le principe fondamental de la dynamique, soit

(on oriente positivement le sens où M descend et m monte, ce qui est naturel)

(la masse est nulle) ; donc  ; de même

Eliminons les tensions des fils :

 ;

En substituant ces valeurs de t et T dans la 3e équation :

Le moment d'inertie de la poulie vaut

et l'on peut aussi traduire le déplacement angulaire en déplacement rectiligne par

On peut donc écrire soit

soit bien sûr

En intégrant par rapport au temps

et

Deuxième méthode

L'énergie cinétique totale du système est

si les masses se déplacent de l'abscisse 0 à l'abscisse x, le travail des forces appliquées vaut :

Ce travail vaut la variation du moment cinétique (qui était initialement nul) :

ou

simplifions :

Dérivons les deux membres par rapport au temps :

Ce qui se simplifie en

puis