Dernière version du 26.04.2009 19h39
Sommaire
1 I - Définitions
1.1 1. Mesure algébrique d'un bipoint sur un axe.
1.2 2. Produit scalaire
2 II - Deuxième expression du produit scalaire de deux vecteurs
2.1 Commutativité du produit scalaire
2.2 Carré scalaire et carré de la norme d'un vecteur
3 III - Distributivité du produit scalaire sur l'addition des vecteurs
4 IV - Produits scalaires remarquables
5 IV - Pseudo-associativité pour la multiplication des réels et la multiplication d'un vecteur par un réel
6 VI - Orthogonalité
[modifier (
modifier-622-section-1.cours)]I - Définitions
[modifier ( modifier-622-section-2.cours)]1. Mesure algébrique d'un bipoint sur un axe.
Un bipoint est un couple (A,B) de points.
Un axe est une droite D munie d'un repère
Soient ;
On définit la mesure algébrique du bipoint (A,B) par
.
Il est facile de voir que
et qu'on a une formule du type de Chasles :
(si A,B,C alignés, donc sur le même axe, bien sûr)
En effet,
[modifier ( modifier-622-section-3.cours)]2. Produit scalaire
Soient trois points A,B,C. Soit H la projection orthogonale de C sur (AB).
Le produit scalaire du vecteur par le vecteur
est le nombre réel
Il est clair que sont de même signe si l'angle
est aigu, et de signes contraires si cet angle est obtus :
Donc si est aigu, on a
;
et si est obtus, on a
.
On remarquera que la définition du produit scalaire est identique à celle, énoncée en Physique, du travail d'une force lors d'un déplacement
:
Si l'angle formé par la force et le vecteur déplacement est aigu, on dit que le travail de la force est moteur :
(où
est la projection orthogonale de la force sur le déplacement)
et si cet angle est obtus, on dit que ce travail est résistant :
[modifier ( modifier-622-section-4.cours)]II - Deuxième expression du produit scalaire de deux vecteurs
Il est facile de voir que
Donc
ou, en donnant des noms aux vecteurs :
(Deuxième expression du produit scalaire)
avec bien sûr,
[modifier ( modifier-622-section-5.cours)]Commutativité du produit scalaire
Puisque l'on sait que , on obtient en partant de cette deuxième expression du produit scalaire :
On dit que le produit scalaire est commutatif.
[modifier ( modifier-622-section-6.cours)]Carré scalaire et carré de la norme d'un vecteur
On pose
On appellera ce produit scalaire le carré scalaire de .
Il est clair que
soit
Ainsi, le carré scalaire d'un vecteur n'est autre que le carré de sa norme.
La norme d'un vecteur n'est donc autre que la racine carrée de son carré scalaire :
[modifier ( modifier-622-section-7.cours)]III - Distributivité du produit scalaire sur l'addition des vecteurs
Considérons des points A,B,C,D. Soit H la projection orthogonale de C sur (AB), et K la projection orthogonale de D sur (AB).
Alors
D'un autre côté,
et
(en effet, la projection orthogonale de sur (AB) est
, vu que C se projette en H et D se projette en K)
En additionnant ces deux produits scalaires, on obtient
Le produit scalaire est donc distributif sur l'addition des vecteurs :
et bien sûr, comme il est commutatif, on peut aussi écrire
[modifier ( modifier-622-section-8.cours)]IV - Produits scalaires remarquables
On a, pour tous vecteurs :
1)
et puisque le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme, cela s'écrit également :
2)
soit aussi
3)
soit aussi
Prouvons juste le premier résultat :
[modifier ( modifier-622-section-9.cours)]IV - Pseudo-associativité pour la multiplication des réels et la multiplication d'un vecteur par un réel
Le théorème de Thalès nous montre facilement que
Donc, pour tous vecteurs et tout réel
,
[modifier ( modifier-622-section-10.cours)]VI - Orthogonalité
Par définition, on dira que si et seulement si
:
Puisque
on peut dire que deux vecteurs sont orthogonaux si
Autrement dit, deux vecteurs sont orthogonaux si l'un d'eux au moins est nul, ou s'ils sont à angle droit l'un de l'autre.