Dernière version du 30.09.2010 15h45
Sommaire
1 Introduction
2 Les bases
2.1 L'addition
2.2 La multiplication
2.3 L'inversion
3 La simplification
4 Le théorème de De Morgan
5 Quelques lois
5.1 L'associativité
5.2 La complémentarité
5.3 La commutativité
5.4 Idempotence
5.5 La distributivité
6 Conclusion
[modifier (
modifier-73-section-1.cours)]Introduction
L'algèbre de Boole a été créée par George Boole ( http://fr.wikipedia.org/wiki/George_Boole) durant le 19ème siècle.
L'algèbre de Boole est principalement utilisée en informatique et en électronique. Vous la trouverez partout : programmation, micro-contrôleur, eprom, logique combinatoire... Sans elle, vous ne seriez évidemment pas en train de lire ce cours 
[modifier ( modifier-73-section-2.cours)]Les bases
Nous avons déjà abordé l'algèbre de Boole durant le cours sur les portes logiques élémentaires ( 41-les-portes-logiques-elementaires.cours). Si la réponse n'est jamais complexe (soit 1, soit 0, donc soit VRAI, soit FAUX), on peut facilement oublier un paramètre. Revoyons les principes élémentaires :
[modifier ( modifier-73-section-3.cours)]L'addition
L'addition (ou disjonction) est basée sur la fonction logique OU :
| A | B | S |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Nous pouvons noter ici que 1+1=1 et non 2 ! C'est du booléen, ne l'oubliez pas !
Un moyen mnémotechnique c'est de se dire : « Si j'ai A OU B ça marche ». Ceci afin de vous faire comprendre que l'on obtient OUI ou NON comme résultat (Principe du Booléen).
[modifier ( modifier-73-section-4.cours)]La multiplication
La multiplication (ou conjonction) est basée sur la fonction logique ET :
| A | B | S |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
[modifier ( modifier-73-section-5.cours)]L'inversion
L'inversion (ou négation) est basée sur la fonction logique NON :
| A | S |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
[modifier ( modifier-73-section-6.cours)]La simplification
Jusqu'ici, rien de compliqué. Cependant, lorsque vous aurez une équation du type :
, vous serez bien content de la réduire en
avant de la résoudre non ? L'exemple ici est encore simple, mais avec la logique combinatoire, vous pouvez facilement atteindre de longues équations.
[modifier ( modifier-73-section-7.cours)]Le théorème de De Morgan
Ce théorème est bien utile lorsque nous ne voulons utiliser qu'un type de porte (par exemple, des NAND au lieu de NOR).
Nous pouvons donc « casser » une barre pour changer de symbole ou au contraire, lier des expressions.
[modifier ( modifier-73-section-8.cours)]Quelques lois
Voici quelques lois pour se simplifier la vie.
[modifier ( modifier-73-section-9.cours)]L'associativité
Elle permet d'enlever les parenthèses inutiles :
[modifier ( modifier-73-section-10.cours)]La complémentarité
Si l'on inverse une variable inversée, elle devient non inversée :
Le complément d'une variable plus la variable vaut toujours 1 :
Dans le même goût : Une multiplication entre une variable et son complément vaut forcément 0 : .
[modifier ( modifier-73-section-11.cours)]La commutativité
Plus simple, il n'y a probablement pas : ou encore
[modifier ( modifier-73-section-12.cours)]Idempotence
tout comme 1+1=1 rappelez-vous...
[modifier ( modifier-73-section-13.cours)]La distributivité
Un poil plus dur, la distributivité :
, comme dans les opérations habituelles des maths « normales ».
Par contre, un petit piège :
[modifier ( modifier-73-section-14.cours)]Conclusion
L'algèbre de Boole n'est pas compliqué mais il faut faire attention à 2-3 pièges, surtout dans les grandes équations. Il faut toujours penser à simplifier un maximum afin de gagner du temps.
Ce cours sera prochainement complété par une partie sur les tables de Karnaugh (ou alors un autre cours sur la logique combinatoire...).