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1 Formule de Héron d'Alexandrie (excellent exercice de calcul) 1.1 Rappels 1.1.1 Formule de l'aire d'un triangle 1.1.2 Formule d'Al Kashi 1.2 Preuve de la Formule de Héron
Enoncé : L'aire d'un triangle dont les longueurs des côtés sont est, en posant (demi-périmètre) :
Soit un triangle . Si l'on pose , , etc., l'aire du triangle est soit encore ou Preuve : immédiate. On utilise la formule : et la hauteur relative au sommet se calcule avec le sinus de .
Soit un triangle avec les mêmes notations que plus haut. On a et donc aussi Preuve : définition du cosinus, du sinus, et un peu d'identités remarquables. On trace une hauteur, pour utiliser les rapports trigonométriques.
D'après Al Kashi, on peut tirer de la valeur de : Dans un triangle, les trois angles sont inférieurs à 180°, donc On peut écrire , et soit : Or l'aire du triangle vaut Or ; ; Donc soit finalement .
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