Cinématique (1)

[modifier ( modifier-358-section-2.cours)]Référentiels et repères

Un référentiel, on l'admettra, est un solide pouvant servir de système de référence par rapport auquel observer, ou décrire, le mouvement d'un corps, d'un système physique.
Ici, cela revient à se donner un repère bidimensionnel pour étudier un mouvement plan, ou un repère tridimensionnel pour étudier un mouvement dans l'espace.
Soit donc un repère , que nous prendrons a priori orthogonal, muni de vecteurs de base normés à 1 (repère orthonormal) :
, .

[modifier ( modifier-358-section-4.cours)]Trajectoire

Toujours vue d'un référentiel donné, la trajectoire d'un mobile ponctuel est l'ensemble des points successivement occupés par ce mobile au cours du mouvement, au cours du temps, donc.
Par exemple,
(1) pour le mouvement défini par

La trajectoire est une droite ou une portion de droite : en effet, , donc

Ainsi, la trajectoire est au moins une partie de la droite d'équation
(elle serait cette droite même si le mouvement avait lieu de à )

(2) Pour le mouvement défini par

On voit que

La trajectoire est donc au moins une partie du cercle de centre et de rayon 5.

[modifier ( modifier-358-section-5.cours)]Vitesse

Vitesse moyenne entre deux instants
Considérons deux instants et , en supposant .
Du premier au deuxième instant, le mobile s'est déplacé de
On appellera vitesse moyenne du mobile entre les instants et le rapport , soit

(Vitesse = Déplacement par unité de temps)
Attention, ceci est un abus de notation pour les mathématiciens, qui ont défini la multiplication d'un vecteur par un réel, mais non la division !
Mais on assimilera ici

à

Vitesse réelle à un instant
La notion de vitesse moyenne n'est ni précise ni pratique, à part la simplicité de l'observation du mobile à deux instants précis.
On peut se ramener à un seul instant, en considérant deux instants infiniment proches, ou plus exactement, en cherchant la limite de pour .
On obtient la vitesse réelle (du point de vue du référentiel considéré !) du mobile à l'instant  :

Formellement, cela veut dire exactement que la fonction est la dérivée par rapport à la variable (on dit : dérivée par rapport au temps) de la fonction .
On écrit cela :

Mais comme
,


(les vecteurs sont fixes dans le référentiel, et n'ont pas à être dérivés)
On notera désormais la dérivation par rapport au temps.
On note souvent (en Mécanique) la dérivée de par rapport au temps, etc., ce qui donne


Exemple :
Soit un mouvement plan, d'équations horaires

Son vecteur vitesse est , avec

à chaque instant .

[modifier ( modifier-358-section-6.cours)]Accélération

De la même manière, on peut définir l'accélération moyenne entre les instants et par

(variation de vitesse par unité de temps)
et l'accélération réelle (mesurée dans le référentiel considéré !) par

Ainsi, le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse, et si ses coordonnées sont notées , on aura



( désigne la dérivée seconde de par rapport au temps)
On note aussi

Exemple
Soit un mouvement plan d'équations horaires

Son vecteur vitesse a pour coordonnées

et son accélération a pour coordonnées

Détermination d'un mouvement connaissant les accélérations et les conditions initiales de position et de vitesse
Nous verrons que la connaissance des accélérations équivaut à la connaissance des forces appliquées sur le mobile (à cause de la loi fondamentale de la dynamique, , où est l'impulsion (ou quantité de mouvement) du mobile, et est l'accélération du mobile dans le référentiel.
Si l'on connaît l'accélération, c'est-à-dire 3 fonctions du temps



et si l'on connaît, mettons et , vitesse et position du mobile à l'instant initial (ici 0), alors

(ou, ce qui revient au même, est une primitive par rapport au temps de prenant la valeur v_x(0) en )
On peut remonter à la position en écrivant

(ou, ce qui revient au même, est une primitive par rapport au temps de prenant la valeur x(0) à )
Idem pour les autres coordonnées selon ou .
Exemple
Soit un mouvement plan dont l'accélération est définie par

et dont la position à l'instant 0 est , et la vitesse à l'instant 0 est
, , .
Trouver sa vitesse et sa position en fonction du temps.
Vecteur vitesse : on intègre les coordoonnées de l'accélération, et l'on tient compte de la vitesse initiale :
, où est une constante à déterminer.
En t = 0, on .
Donc est entièrement déterminé :

où est une constante à déterminer.
En , on a , donc on a , donc
et est entièrement déterminé :

De même
, où est une constante à déterminer.
A , , donc .
On obtient

Cherchons à présent les positions :



où sont des constantes à déterminer.
Au vu des conditions initiales :



d'où