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Dernière version du 06.05.2008 11h28
1 Définitions 1.1 Univers et ensemble vide 1.2 Complémentaire par rapport à l'univers 1.3 Réunion de deux ensembles 1.4 Intersection de deux ensembles 1.5 Inclusion 2 Propriétés 2.1 Complémentaires 2.2 Réunion et intersection 2.3 Inclusion 2.4 Théorème sur les quantificateurs, univers et vide
Cette leçon donne non seulement le vocabulaire des ensembles, utile dans toutes les branches des mathématiques, mais aussi les règles de bonne conduite évitant tous les pièges possibles et imaginables. Elle n'est donc pas à négliger, si vous aimez les mathématiques et désirez aller vers l'excellence dans cette discipline qui est un peu la mère des sciences...
Un ensemble est une collection quelconque d'objets, réels ou imaginaires. Ces objets sont dits éléments de l'ensemble. Si l'on peut en donner la liste, on note un ensemble par la liste de ses éléments séparés par des virgules, entre des accolades. Par exemple, l'ensemble des chiffres dans le système de numération décimal s'écrit Si l'ensemble a un nombre infini d'éléments, que l'on sait générer sans ambiguïté l'un à la suite de l'autre, on peut écrire de manière un peu analogue (par exemple ici, l'ensemble des entiers naturels) : On peut définir un ensemble si l'on sait décrire ses éléments : (lire : P est l'ensemble des entiers naturels x tels que chaque x est pair) (on conviendra que / se lit : "tel que" ou "tels que") (ensemble des entiers naturels pairs) ou, mieux, en explicitant la parité : (lire : P est l'ensemble des entiers naturels x tels qu'il existe un entier n avec x = 2n) Si est un élément de l'ensemble , on écrit (lire : " est un élément de ", ou " appartient à ") On peut aussi écrire (lire : " contient [comme élément]") Si n'est pas un élément de , on écrira (lire : " n'appartient pas à ", ou " n'est pas un élément de ").
En général, on se donne toujours un ensemble de base, appelé univers, assez grand pour contenir tous les objets qui nous intéressent. Si je veux raisonner sur le nombre de chemises que je peux m'acheter, l'univers sera . Si je veux raisonner sur les angles géométriques d'un triangle, l'univers sera (si je raisonne en radians) ou (si je raisonne en degrés). Si je veux raisonner sur le mouvement d'un objet dans un plan (ainsi, un projectile lancé dans le champ de pesanteur terrestre), l'univers décrivant les positions au cours du temps de mon objet sera . Mais si je me donne un univers, il est rare que je le "parcoure" en entier : par exemple, je ne m'achèterai jamais 235 602 chemises ! Et mon projectile, lancé à partir d'un sol horizontal, montera à une certaine altitude et retombera au sol, ne parcourant que des points avec . Il est naturel, donc, de considérer en général une partie (ou sous-ensemble) de l'univers. Comme on l'a vu en Logique, une partie de l'univers E est définie par une propriété sur E, et réciproquement, une propriété sur E peut être définie par une partie de E. Ainsi, la propriété correspond à l'ensemble , partie de composée de tous les entiers naturels pairs. L'ensemble vide est la partie vide de , on pourrait aussi dire que c'est l'ensemble associé à la propriété qui est fausse pour tout élément de , c'est-à-dire vraie pour aucun élément. On dit (en passant) que est la partie pleine de , et il est clair que est l'ensemble associé à la propriété qui est vraie pour tout élément de . L'univers est également associé au quantificateur universel , et l'ensemble vide est associé au quantificateur existentiel , par les définitions
On a vu que si à la propriété correspond la partie de , alors à une négation correspond son complémentaire dans , soit . On retiendra : si , alors
On se donne deux ensembles , parties de l'univers . La réunion de est l'ensemble des objets appartenant à au moins l'un des deux ensembles : (lire : union est l'ensemble des éléments de l'univers, qui appartiennent à ou à ") On rappelle qu'en Logique, "ou" ne veut pas dire "ou bien...ou bien", mais "au moins l'un des deux est vrai".
On se donne deux ensembles , parties de l'univers . L'intersection de et est l'ensemble des objets appartenant à la fois à l'un et l'autre des ensembles : (lire : " inter est l'ensemble des éléments de l'univers, qui appartiennent à et à ").
Tous les ensembles considérés sont des parties de l'univers : on dit aussi qu'ils sont inclus dans , et l'on écrit Soient deux parties de , et . Si tout élément de est un élément de , on dira que est inclus dans et l'on écrira . En termes de Logique, ceci peut se définir suivant (sous-entendu avec ) ou encore (sous-entendu avec )
1. Le premier théorème de Loqique, sous sa première forme : "Si , alors " donne la propriété "Si , alors " (Si P est le complémentaire de Q, alors Q est le complémentaire de P) 2. Le premier théorème de Loqique, sous sa deuxième forme : "" donne la propriété qui s'écrit encore ou
L'associativité des connecteurs logiques et donne les propriétés d'associativité : La distributivité de sur et de sur donnent les propriétés de distributivité de sur et réciproquement : Le théorème de Logique s'énonçant "" et son dual obtenu en permutant ou avec et donnent les propriétés Ces deux égalités sont appelées Lois de De Morgan. Elles traduisent le fait que
1. Le théorème de Logique qui s'énonce " équivaut à " donna la propriété (" est inclus dans " équivaut à " est inclus dans ") 2. Le théorème de Logique qui s'énonce " équivaut à " donne la propriété En effet, le théorème de Logique dit que l'implication équivaut à " est toujours vraie".
On connaît le théorème de Logique et son "dual" Il signifie juste que et
Dernière mise à jour: le 06.05.2008 à 12:28 Licence: Libre de partager, modifier - Devoir de citer la source - Pas d'utilisation commerciale Daskoo.org, partage de cours
