Xcas-GIAC, un fantastique logiciel de mathématiques formelles !

[modifier ( modifier-385-section-1.cours)]Présentation

Xcas est l'interface graphique du logiciel de mathématiques formelles GIAC.
GIAC est un logiciel de mathématiques formelles, et même plus, puisqu'il fait fonction de tableur, mais d'un tableur qui manipulerait non seulement des nombres décimaux, mais aussi des figures de géométrie et bien d'autres choses !
Il possède des fonctions spécifiques, par exemple pédagogiques, pour le lycéen et jusqu'au professeur candidat à l'Agrégation, ou pour faire de la physique, etc.
GIAC est produit par une équipe universitaire de Grenoble.
Nous ne considérerons que la fonction de logiciel de mathématiques formelles, pour laquelle GIAC est l'équivalent de Maple ou de Mathematica, qui eux sont payants et onéreux.
Xcas est l'interface graphique de GIAC.

[modifier ( modifier-385-section-3.cours)]Paramétrage de base

1. Choisir Cfg → Mode (syntax) → Xcas.
Il existe des modes Maple, MuPAD, etc., mais c'est imprécis. On n'obtient pas exactement la syntaxe de Maple.
Aussi conseillons-nous de choisir le mode natif, où l'on a les meilleures garanties.
2. Choisir ou vérifier qu'on a bien Cfg → Cas configuration, et Integer basis 10 (numération à base décimale)
coché : radian
coché : sqrt
(on peut cocher d'autres cases, mais ne rien dé-cocher)
3. Cfg → General configuration → choisir "calcul formel"
Abordons à présent la prise en mains de Xcas :

[modifier ( modifier-385-section-4.cours)]Calculs élémentaires

1+3 <entrée> donne 4
3*4 <entrée> donne 12. Nous omettrons à partir d'ici la mention de <entrée>.
4/5 donne , mais suivi de evalf(ans()), donne 0,8.
On peut aussi taper
4./5 ce qui donne 0.8 (en effet, 4. est un nombre en virgule flottante ; GIAC répond par un résultat en virgule flottante), ou
evalf(4/5) ce qui donne 0.8
sqrt(2) donne , mais
evalf(sqrt(2)) donne 1.414..., ou
sqrt(2.) donne 1.414...
5^(1/2) donne , mais
5.^(1/2) donne 2.236...
5^(1/3) donne (soit ), mais
5.^(1/3) donne 1.7099...
sin(pi/6) donne , et à l'inverse
arcsin(1/2) donne (soit )
ln(e) donne 1
ln(10) donne , mais
ln(10.) donne 2.30258...
exp(1) donne
e donne , mais
exp(1.) donne 2,71828...
pi donne
evalf(pi) donne 3.14159265...

[modifier ( modifier-385-section-6.cours)]Manipulation d'expressions algébriques ou numériques

expand[(x-2)*(x-3)] donne (attention, ce sont des parenthèses, pas des crochets)
factor(x^2-x-6) donne (2 + x)(-3 + x)

[modifier ( modifier-385-section-7.cours)]Sommations

sum(x,x,1,n) donne , soit après factorisation : . Attention ! Ne pas taper sum(i,i,1,n) car i est réservé (unité imaginaire)
sum(x^2,x,1,n) donne , soit après factorisation :

[modifier ( modifier-385-section-8.cours)]Expressions algébriques

canonical_form(ax^2+bx+c) donne la forme canonique
simplify(expr) simplifie une expression, en tenant compte des identités trigonométriques, par exemple.
subst(expr(a),a=2) par exemple, substitue 2 à a dans l'expression

[modifier ( modifier-385-section-9.cours)]Equations algébriques

solve(x^2-4=0) donne [2 -2]
solve(x^2+a=0) donne
solve(exp(x)=2) donne [ln(2)]
Système d'équations solve([x+y=10,x-y=2],[x,y]) donne [6 4]
zeros(expr) donne les zéros (ou racines) d'une expression
cZeros(expr) donne les zéros complexes d'une expression

[modifier ( modifier-385-section-10.cours)]Trigonométrie et nombres complexes

convert(cos(x),exp) donne , c'est-à-dire
convert(exp(i*x),trig) donne

mais
assume(x,real) ; convert(exp(i*x),trig) donne
norm(z) donne
abs(z) donne la même chose.
conj(z) donne
evalc(z) donne z sous forme algébrique
arg(z) donne l'argument de z
cFactor factorise un polynôme en facteurs complexes : cFactor(x^2+1) donne (-i+x)(i+x)

[modifier ( modifier-385-section-11.cours)]Analyse des fonctions

f@g donne  : (f@g)(x) donne
f@@3 donne
unapply(expr) transforme une expression p(x) en une fonction
f(x):=x^2*sin(x) définit la fonction
On peut aussi écrire f:x→x^2*sin(x)
diff(f(x)) donne f'(x)
int(f(x)) donne (primitive)
int(f(x),x=a..b) donne
arcLen donne la longueur d'un arc de courbe : arcLen(x^2,x,0,1) donne la longueur de larc d'équation avec
fMax(expr,x) donne le maximum d'une expression
fMin(expr,x) donne le minimum d'une expression
diff(expr,[x,y,z]) donne le triplet
diff(expr,x,y) donne
diff(expr,x,y,y) donne

[modifier ( modifier-385-section-12.cours)]Equations différentielles

desolve(y'+2*y=0) donne , ce qui signifie
desolve(y'-3*y=sin(x)) donne

ce qui n'est certes pas très simplifié, et doit s'interpréter comme
Dans la commande, on n'a même pas besoin de déclarer l'inconnue, y.
Pour la dérivée seconde, taper deux fois "prime" :
desolve(y''+4*y=0) donne bien , mais avec complexes.

[modifier ( modifier-385-section-13.cours)]Algèbre linéaire

donne
det(M) donne -2 (c'est le déterminant)
M^{-1} donne (inverse de M)
charpoly(M,x) donne (x-1-4)x-2, soit , qui est le polynôme caractéristique de M.
eigenvals(M) donne les valeurs propres de M.
eigenvects(M) donne les vecteurs propres correspondants.
matrix(2,3,(j,k)→j+k) donne , matrice à 2 lignes et 3 colonne dont les éléments sont éléments des indices.
v:=([a,b,c]) définit le vecteur
u*v donne le produit scalaire des deux vecteurs en base orthonormale (xx'+yy'...)
cross(u,v) donne le produit vectoriel de u et v
det(u,v,w) donne le déterminant de trois vecteurs de l'espace
matrix([u,v,w]) donne
transpose(M) transpose la matrice M
concat(u,v) donne
stack(u,v) donne
si
norm(M) donne , soit
Pour un vecteur, on a aussi
norm(u) donne