Comment utiliser Xcas-GIAC pour vérifier tous mes calculs et progresser vite en calcul mathématique

Attention, après chacune des commandes données ci-après, on tape <entrée>, bien entendu !

[modifier ( modifier-391-section-1.cours)]Calcul numérique

1. Si je veux calculer par exemple
je tape
sin(pi/6)
et j'obtiens
2. Si je sais que
et que je veux une valeur possible de , je tape
arccos(-sqrt(3)/2)
et j'obtiens acos
ce qui ne m'aide pas beaucoup ; en tapant ensuite
evalf(ans())
j'obtiens 2.617993... (ce qui est une valeur approchée décimale de
3. Décomposer un entier en facteurs premiers : si je tape
ifactor(2001)
j'obtiens 3.23.29 (en effet, )
4. Quotient entier d'une division euclidienne : si je tape
iquo(13,4)
j'obtiens 3 (ce qui veut dire que la division de 13 par 4 donne le quotient 3)
5. Reste entier d'une division euclidienne : si je tape
irem(13,4)
j'obtiens 1 (ce qui veut dire que la division de 13 par 4 donne le reste 1)
6. Division euclidienne : si je tape
iquorem(13,4)
j'obtiens [3 1] (ce qui veut dire que la division de 13 par 4 donne un quotient 3 et un reste 1)
7. Egalité de Bezout : si je tape
iegcd(48,30)
j'obtiens [2, -3,6] (ce qui veut dire que

[modifier ( modifier-391-section-2.cours)]Calcul algébrique élémentaire

1. Vérifier un développement, par exemple
Taper
expand((x-a/2)^2)
On obtient
ce qui n'est pas très intéressant ; mais si l'on tape ensuite
simplify(ans())
on obtient

2. Vérifier une factorisation, par exemple
Taper
factor(x^2-x-6)
On obtient , ce qui se lit plutôt
3. Retrouver une identité remarquable : si je tape
expand((a-b)^2)
j'obtiens
Si je tape ensuite
simplify(ans())
j'obtiens
ce qui se lit bien entendu

[modifier ( modifier-391-section-3.cours)]Etude de fonctions

Pour définir une fonction f, par exemple
f(x):=7*x^3
(on pouvait aussi taper f:=x→7*x^3, mais c'est plus compliqué)
Pour dériver :
diff(f(x)) donne , ce qui n'est pas encore parfait : on tape alors
simplify(ans()) ce qui donne
Pour réduire une fonction (fraction) rationnelle en éléments simples, taper
parfrac(f(x)) avec f(x)=(x^2-x+5)/(x-2) donne (soit )
limit(sin(x)/x,x=0) donne 1 ()
limit((2*x^2-4*x-17)/(x^2+33x+1),x=+infinity) donne 2 ()
Limites à droite et à gauche :
limit((x+2)/(x-1),x=1,1) donne +infinity (Attention, le "1" signifie "à droite" : on a calculé )
limit((x+2)/(x-1),x=1,-1) donne -infinity (Attention, le "-1" signifie "à gauche" : on a calculé )
Développement en série de Taylor
series(sin(x),x=0,5) donne
ce qui veut dire , où désigne une quantité négligeable devant lorsque tend vers 0,
ou, tout aussi bien, , où désigne une quantité négligeable devant lorsque tend vers 0.
Transformation d'écriture :
convert(cos(x)^2,sin) donne Attention à l'écriture et à la lecture ! Cela veut dire (rien à voir avec )
convert(cos(2*x),tan) donne

puis, si l'on tape ensuite
simplify(ans()) on obtient
, ce qu'il faut lire :

[modifier ( modifier-391-section-4.cours)]Equations

solve(x^2-x-6=0) donne [3 -2]
solve([x+y=10,x-y=2],[x,y]) donne [6 4]
(penser à mettre les équations entre crochets, séparées par des virgules, et déclarer les inconnues entre crochets, séparées par des virgules)

[modifier ( modifier-391-section-5.cours)]Equations différentielles

desolve(y'-2*y=0) donne , ce qui se lit

Pour les dérivées secondes, taper deux fois ' et non pas " (guillemets), non reconnu par GIAC.

[modifier ( modifier-391-section-6.cours)]Calcul intégral

Pour calculer une primitive :
int(x*sin(x)) donne
Pour calculer une intégrale :
int(x*sin(x),x=0..pi/3) donne , c'est-à-dire

[modifier ( modifier-391-section-7.cours)]Graphiques

Pour représenter une fonction :
plot(sin(x),x=0..2*pi) donne

[modifier ( modifier-391-section-8.cours)]Algèbre linéaire

Pour définir un vecteur par ses coordonnées :
u:=[a,b,c] donne
Produit scalaire de deux vecteurs en base orthonormale : si v:=[x,y,z]
u*v donne
produit vectoriel  :
cross(u,v) donne
Si j'ai défini trois vecteurs, leur déterminant s'obtient en tapant
det(u,v,w)
Pour définir une matrice :
donne
transpose(M) transpose la matrice M
det(M) donne le déterminant de M
M^(-1) donne l'inverse de la matrice.
charpoly(M,x) donne le polynôme caractéristique de la matrice, avec x comme variable
eigenvals(M) donne les valeurs propres de la matrice M.
eigenvects(M) donne les vecteurs propres de la matrice M.
Si u:=[1,2,3],v:=[a,b,c] et w:=[x,y,z], alors
stack(u,v) donne
stack(u,v,w) donne
et c'est bien une matrice dont on peut calculer le déterminant, qu'on peut inverser, etc.
si
alors
concat(M,N) donne