Introduction élémentaire à la Mécanique relativiste

Faute d'un formalisme assez évolué (notamment le formalisme lagrangien (1) que l'on peut regarder sur mon site sous les titres "Principe de moindre action" et "mécanique relativiste"), nous ne pourrons pas tout établir très élégamment (certains disent que l'esthétique est quasiment un critère en physique théorique !). Mais tout raisonnement présenté ici sera rigoureux

[modifier ( modifier-394-section-1.cours)]Force en mécanique relativiste

La mécanique relativiste étudie les forces appliquées à des objets dans le cadre de la relativité restreinte, par exemple lorsqu'on accélère un objet jusqu'à une vitesse non négligeable par rapport à la vitesse de la lumière.
Nous avons défini l'impulsion (ou "quantité de mouvement") relativiste par

Nous définirons toujours la force de manière "dynamique" par son effet sur l'objet qui la subit : la variation d'impulsion par unité de temps, mesurée dans le référentiel considérée :

Dans cet exposé, cela ne pose pas de vrai problème, car il y a aussi l'observation, la mesure et l'expérience, qui confirment ce choix.

[modifier ( modifier-394-section-2.cours)]Energie en mécanique relativiste

Pour une particule de masse douée d'une vitesse dans le référentiel où on la considère.
Nous avons juste indiqué (voir "initiation à la relativité restreinte" sur Daskoo) que l'énergie de la particule est définie par

Nous allons prouver ici que cette définition est justifiée, en accord avec notre choix précédent de la définition de la force.
En effet, si nous appliquons une force sur un objet, cette force fournit un travail, ce travail n'étant rien de plus que la variation d'énergie de l'objet due à cette action.
On a donc

Calculons (on prendra pour plus de simplicité une force qui déplace son point d'application dans sa propre direction, x)





Or avec

on a

On a bien justifié le choix de
pour l'énergie en mécanique relativiste.

[modifier ( modifier-394-section-4.cours)]Comportement de l'énergie et de l'impulsion en fonction de la vitesse

[modifier ( modifier-394-section-7.cours)]Limite non-relativiste de la mécanique relativiste

La mécanique newtonienne, que nous utilisons tous les jours pour piloter un avion ou même envoyer un satellite en orbite terrestre ou lunaire (et même, avec une précision très acceptable, vers Mars ou Vénus), est bien sûr vraie en tant que limite de la mécanique relativiste, qui est vraie pour tous les domaines de vitesse de 0 à c, vitesse de la lumière.
Regardons par exemple l'impulsion :

lorsque
Pour l'énergie, nous utiliserons la formule d'approximation (voir la leçon "approximations du premier ordre" dans Mathématiques) :

en particulier ici

Donc

On retrouve l'énergie cinétique sous sa forme newtonienne, classique :
Quant à nous, plus rigoureusement, nous définirons l'énergie cinétique comme

[modifier ( modifier-394-section-8.cours)]Les luxons

Nous avons vu (relativité restreinte) que pour une particule dotée d'une masse , l'impulsion et l'énergie sont les composantes d'un même quadrivecteur :

Nous savons aussi que tout quadrivecteur est associé à un invariant, "carré scalaire" dudit quadrivecteur, ici (tous calculs faits) :

Cette relation entre énergie, impulsion et masse, que nous écrirons aussi

est générale pour tous les objets matériels.
Pour un objet de masse nulle (), on a

et les formules

ne peuvent que prendre la forme indéterminée
autrement dit, exactement.
C'est notamment le cas du photon, boson qui véhicule l'interaction électromagnétique, et qui à l'état libre, constitue la lumière.
Nous retiendrons le fait que la nullité de la masse équivaut à l'égalité de la vitesse de la particule, dans tout référentiel d'inertie, à c exactement.

[modifier ( modifier-394-section-9.cours)]Application : accélération d'une particule chargée par un champ électrique uniforme

Si l'on place une particule de masse et de charge électrique dans un champ électrique uniforme , elle subit la force dite électrique

On peut donc écrire

ou, mieux :

ce qui revient en fait à

Si l'on démarre à avec , cela donne

Ce qui donne aisément

La particule accélère d'abord "classiquement" :

(c'est-à-dire )
puis, si la force électrique ne cesse de s'appliquer, voit sa vitesse tendre par valeurs inférieures vers la vitesse de la lumière :

[modifier ( modifier-394-section-10.cours)]Rêvons un peu : hypothèse des tachyons

Vers les années 1970, les physiciens théoriciens s'intéressaient beaucoup à une voie de recherche : celle des tachyons (du grec tachyos, rapide), qui voyageraient plus vite que la lumière.
L'hypothèse est simple : on admet toujours que toute particule a une impulsion et une énergie
toutes les deux réelles.
Si leur masse n'était plus représentée par un nombre réel positif, mais un nombre imaginaire :

alors pour conserver la réalité de l'impulsion et de l'énergie, on devrait considérer uniquement des vitesses strictement supérieures à celle de la lumière ; on aurait alors

Représentons sur le même diagramme les impulsions de deux particules, l'une de matière "usuelle" (que nous appellerons tardon (avec masse réelle m), et l'autre, un tachyon de masse  :

On voit que la "barrière de la lumière" sépare à tout jamais les tachyons des tardons : pour faire descendre un tachyon à la vitesse de la lumière, il faudrait lui communiquer une impulsion infinie, tout comme pour faire atteindre à un tardon la vitesse de la lumière.
Remarquons simplement en examinant ce diagramme, que pour , l'impulsion d'un tachyon ne s'annule pas comme celle d'un tardon à , mais tend vers la constante .
La demi-droite verticale d'équation représente les états d'un luxon.
Regardons maintenant le comportement en énergie en fonction de la vitesse d'un tachyon et d'un tardon :

Là encore, on voit que le tachyon et le tardon sont séparés par une barrière infranchissable : de même qu'une énergie si grande soit-elle sera toujours insuffisante pour accélérer un tardon jusqu'à la vitesse de la lumière, aucune énergie ne sera suffisante pour décélérer un tachyon pour lui donner exactement la vitesse c.
Ici également, les luxons sont représentés par la verticale d'équation .
On remarque que l'énergie d'un tachyon tend vers 0 lorsque sa vitesse tend vers l'infini (il devient évanescent, en quelque sorte).