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1 Couples et produits cartésiens d'ensembles 1.1 Couples 1.2 Produit cartésien de deux ensembles 2 Relation d'un ensemble E vers un ensemble F 2.1 Diagramme sagittal 2.2 Diagramme cartésien 3 Graphe d'une relation 4 Relation dans un ensemble E 4.1 Relations réflexives 4.2 Relations symétriques 4.3 Relations antisymétriques 4.3.1 Définition équivalente de l'antisymétrie 4.4 Relations transitives 5 Relations d'équivalence 5.1 Définition 5.2 Partition d'un ensemble 5.3 Classes d'équivalence 5.3.1 Propriétés des classes (d'équivalence) selon une relation d'équivalence R 5.4 Ensemble quotient selon une relation d'équivalence 5.5 Loi quotient d'une loi de composition interne par une relation d'équivalence 6 Applications 6.1 Définitions 6.2 Propriétés des applications 6.2.1 Images d'ensembles 6.2.2 Images réciproques d'ensembles 6.2.3 Image réciproque d'une image ; image d'une image réciproque 6.3 Applications particulières 6.3.1 Injections 6.3.2 Propriété importante 6.3.3 Surjections 6.3.4 Propriété importante 6.3.5 Bijections 6.3.6 Propriété importante 6.3.7 Bijections réciproques 7 Fonctions
Avertissement : il est conseillé d'avoir étudié "Logique" et "Ensembles" avant d'aborder le présent cours. Il contient un grand nombre de matériaux très divers, mais également très utiles dans nombre de domaines.
Soient deux ensembles
Un couple est la donnée de deux objets, un premier () et un second (), noté . Si , alors Un couple est défini (existe) si les deux objets qui le constituent sont définis.
L'ensemble des couples , où , est appelé produit cartésien de par et noté (lire "E croix F") : D'après ce que nous avons dit plus haut sur l'existence d'un couple, on peut dire ou, ce qui revient au même On note le produit cartésien (lire " carré", ou " deux")
Une relation d'un ensemble vers un ensemble est un être mathématique qui consiste à faire correspondre à certains éléments de certains éléments de . On dit que est l'ensemble de départ de la relation, ou la source, et que est l'ensemble d'arrivée, ou le but. Exemple Soit un groupe de jeunes Belges, un groupe de jeunes Français, la relation de vers , défini par On peut représenter la relation par un schéma, dit diagramme sagittal, où les correspondances sont figurées par des flèches :
Ce diagramme exprime, bien sûr, que
Attention, cette relation est définie sur les deux ensembles et seulement dans le sens de . Elle ne dit rien sur d'éventuels amis des uns et des autres hors de ces deux ensembles.
Au lieu de représenter les correspondances par des flèches, on peut représenter (dans un certain ordre) tous les couples de , pour garder l'exemple, et cocher les couples pour lesquels est en relation avec (ici : est l'ami de ) Cela donne :
Définition : Le graphe d'une relation de vers est l'ensemble des couples tels que ; on le note : Bien entendu, c'est une partie de : (Voir le schéma plus haut) Dans l'exemple précédent,
Si (les ensembles de départ et d'arrivée sont identiques), alors au lieu de dire " est une relation de vers , on dit que est une relation dans .
On dit qu'une relation dans est réflexive si, pour tout , on a . Exemples
On dit qu'une relation dans est symétrique si, pour tout , on a Exemples
On dit qu'une relation dans est antisymétrique si, pour tout , Exemples
, et la seule possibilité est , d'où
On peut donner une autre définition de l'antisymétrie d'une relation : est antisymétrique si . En effet, écrivons la définition initiale de l'antisymétrie, en la contraposant (voir cours de Logique) : Donc
La distributivité de sur permet d'écrire ceci sous la forme La propriété est toujours fausse. Il reste et en particulier Exemple La relation dans est antisymétrique : ce que chacun traduit aisément par
On dit qu'une relation dans est transitive si, pour tout Exemples
Nous abordons ici une classe de relations de la plus haute importance : les relations d'équivalence. Leurs prototypes sont l'égalité et le parallélisme des droites. C'est un puissant moyen de rangement, de classement, et de raisonnement, de prouver.
Une relation dans un ensemble est appelée relation d'équivalence si elle est :
Exemples
(i) puisque 0 est multiple de 4 (ii) puisque (iii)
Soit un ensemble . On appelle partition de l'ensemble un ensemble de parties de , que nous noterons , vérifiant les trois propriétés
Exemples 1. L'ensemble des voyelles et l'ensemble des consonnes constituent une partition de l'ensemble des lettres. 2. L'ensemble des classes de mon Lycée est une partition du Lycée. En effet, chaque classe est non-vide (sinon elle serait supprimée), la réunion des classes constitue le Lycée, et deux classes distinctes n'ont aucun élève en commun.
Soit un ensemble muni d'une relation d'équivalence (ce qui veut dire que est définie sur ). Soit . La classe d'équivalence de , notée est l'ensemble des éléments de équivalents à , c'est-à-dire en relation avec :
1. Elles sont non-vides : en effet, donc (on parle toujours de la classe d'un certain élément donné ; cette classe contient au moins lui-même, donc est non-vide) 2. Deux classes distinctes sont disjointes : Supposons ; ce sont deux ensembles différents (non égaux !) donc au moins un élément de l'un n'est pas élément de l'autre. Soit donc . Ces deux classes peuvent-elles avoir un élément en commun ? Soit . On a Or ; donc et comme , on voit que nécessairement , c'est-à-dire que , ce qui constitue une contradiction avec l'hypothèse. Donc et n'ont aucun élément en commun : 3. La réunion de toutes les classes remplit totalement : (on a utilisé le fait que chaque classe contient au moins l'élément ) 4. En conclusion, les classes d'une relation d'équivalence sur constituent une partition de
Soit un ensemble muni d'une relation d'équivalence . L'ensemble des classes selon la relation d'équivalence est appelé ''ensemble quotient de par la relation " et noté . Exemples
, avec avec
Exemples 1) Sur on a défini une loi de composition interne (ou "opération"), l'addition, qui n'est autre que l'application (fonction, si l'on veut) Nous avons défini plus haut à titre d'exemple la relation d'équivalence , qui définit l'ensemble quotient . on peut définir sur cet ensemble quotient une "addition quotient" que nous noterons aussi "+", définie par Exemple ce qui s'écrit On peut dresser la table d'addition de l'ensemble quotient :
(il manque les points au-dessus de 0, 1, 2) 2) Sur on a également une loi de composition interne appelée multiplication. Elle induit une loi sur qui est la multiplication quotient, dont la table est (encore une fois, il manque les points au-dessus de 0,1,2) :
Remarque Nous n'en discuterons pas ici, mais pour définir une loi quotient comme nous venons de le faire à deux reprises, il faut s'assurer que la loi de composition interne sur est bien compatible avec la relation d'équivalence : Ainsi, nous savons que Alors, on doit avoir soit ce qui est vrai, parce que les deux classes ne sont autres que . Voyons également si : cela donne et c'est vrai parce que les deux classes ne sont autres que . Evidemment, il ne s'agit pas de vérifier sur quelques exemples, mais de démontrer cette compatibilité pour toutes les classes de l'ensemble quotient (ce que nous ne ferons pas ici).
Soient deux ensembles et . Une application de vers est une relation de vers telle que tout élément de corresponde à un et un seul élément de . On note une application et pour tout , en appelant l'élément unique de correspondant à l'élément de . On dira que est l' image de , et que est un antécédent de . étant une partie (sous-ensemble) de , on définit (image de ) comme ensemble des , où : étant une partie de , on définit (image réciproque de ) comme l'ensemble des antécédents des éléments de : étant un élément de , on définit en général comme l'ensemble des antécédents de : Attention : dans le cas (que nous allons voir) où est une bijection, nous définirons exceptionnellement comme un élément de , et non comme un ensemble d'éléments de : ce sera le seul dont l'image est .
Pour tous sous-ensembles de , et application de vers , on a : 1. 2. Preuves 1) Soit : il existe par hypothèse un tel que Mais alors, On peut écrire donc ce qui signifie ou 2) Soit : il existe par hypothèse un tel que On peut donc dire à la fois et Donc ce qui signifie que Par contre, la réciproque : est fausse ; en effet : et et rien ne prouve qu'il existe un Exemple (important) Considérons la fonction , et deux intervalles réels On a donc tandis que et donc L'ensemble vide est inclus dans tout ensemble, mais l'ensemble non vide n'est pas inclus dans l'ensemble vide ; on a donc mais l'implication réciproque est fausse.
Pour tous sous-ensembles de , et application de vers , on a: 1. 2. Preuves 1) Soit ; par définition, ce qui veut dire ou encore c'est-à-dire 2) Soit ; par définition ce qui signifie ou encore c'est-à-dire Il n'est peut-être pas inutile de retenir que si les quatre propriétés générales se ressemblent, on a pour seule exception la deuxième :
Pour et application de vers , on a : (lire : contient )
et Pour et application de vers , on a :
Preuve 1) Soit ; alors et donc,. Donc La réciproque est fausse en général (voir exemples). 2) Soit ; il est clair que Mais si alors Or étant une application, à fait correspondre une image et une seule, donc et donc . On a donc démontré que La réciproque est fausse en général (voir exemples).
Une injection de dans est une application telle que tout élément de ait au plus un antécédent ; autrement dit : ou en contraposant l'implication : On dit aussi que l'application est injective. Exemples et contre-exemples 1) est injective En effet, 2) est injective En effet, (se rappeler de l'identité ) et ne peut s'annuler que si simultanément, donc si . Autrement dit, (donc en particulier, ) 3) n'est pas une injection de sur , ou sur , car pour tout . On le voit aussi en se disant que 0 a une infinité d'antécédents :
Si , étant des ensembles finis, alors C'est pourquoi on dit que est une injection de dans . Preuve : A deux éléments différents de correspondent deux images distinctes dans . Si contient éléments, ceux-ci auront donc images distinctes dans , qui contient donc au moins éléments.
Une application est une surjection si tout élément de a au moins un antécédent dans . On dit aussi que est surjective. On dit également que applique sur . Si est surjective, alors (ce qui veut dire que tout élément de est l'image d'un élément (au moins) de ) Exemples 1) est une surjection de sur 2) est surjective, car tout a un antécédent tel que (et même deux : )
Si est surjective, et si et sont finis, alors . En effet, un élément de ne peut avoir qu'une et une seule image dans . S'il y a éléments dans , il ne peut y avoir plus de éléments dans , puisque, par définition des surjections, tous les éléments de sont des images d'éléments de . Donc il ne peut y avoir plus d'éléments dans que dans .
Une application est une bijection si elle est à la fois injective et surjective. On dit aussi que est bijective. Autrement dit, tout élément admet un et un seul antécédent dans .
Si est une bijection, des ensembles finis, alors C'est une évidence, puisque est injective et surjective.
Si est une bijection, alors à chaque élément de , on peut faire correspondre un et un seul élément de , son seul et unique antécédent par . Cette relation est également une bijection, de vers , notée et appelée bijection réciproque de . Elle est évidemment définie par Elle est de même sens de variation que : si , par exemple, alors et cette implication peut s'écrire sous forme contraposée : , soit en posant , , ce qui signifie que également. Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives d'une bijection et de sa réciproques sont symétriques par rapport à la droite d'équation En effet, , et la symétrie se définit par ; exemples :
En effet, si l'on se limite aux nombres positifs ou nuls, on peut écrire ( est le carré de , est la racine carrée de )
, définie par (avec et, bien sûr, )
Une fonction est une relation faisant correspondre à certains éléments de un et un seul élément de On note également, pour un élément qui correspond à un élément de , , et on dira aussi que est l'image de , et que est un antécédent de . On appelle ensemble de définition ou domaine de définition de l'ensemble des qui ont une image dans , et on le note : En fait, une fonction de vers n'est autre qu'une application de vers . Cette précision faite, toutes les propriétés mises en évidence pour les applications sont valables et utilisables pour les fonctions.
Dernière mise à jour: le 14.01.2009 à 20:23 Licence: Libre de partager, modifier - Devoir de citer la source - Pas d'utilisation commerciale Daskoo.org, partage de cours
