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Dernière version du 18.05.2008 00h23
1 Définitions 1.1 Lois de composition interne sur un ensemble 1.2 Propriétés des lois de composition interne 1.2.1 Associativité 1.2.2 Existence d'un élément neutre 1.2.3 Existence d'un symétrique pour un élément 1.2.4 Commutativité 2 Structure de groupe 2.1 Propriétés générales des groupes 2.1.1 Régularité 2.1.2 Unicité de l'élément neutre 2.1.3 Unicité du symétrique d'un élément 2.1.4 Equations élémentaires 2.1.5 Symétrique du composé de deux éléments
Avertissement : il est conseillé de lire d'abord "Logique", "Ensembles" et "Relations" avant d'aborder les notions qui suivent
Tout le monde connaît les quatre opérations : addition, soustraction, multiplication, division. Seule la première et la troisième, à tout couple d'entiers naturels, font correspondre un et un seul entier : et Autrement, l'addition et la multiplication sont des applications de vers On posera : Soit un ensemble . On appelle loi de composition sur toute application , et l'on notera ceci à l'aide d'un symbole comme * : On parlera de la loi * et non pas de la loi .
Une loi * sur sera dite associative si pour tous , on a On notera alors cet élément . Exemples 1. L'addition et la multiplication usuelles sont associatives : noté , noté . 2. Définissons dans la loi * telle que Elle est associative, car et également. 3. La réunion et l'intersection, définies sur , ensemble des parties de , sont associatives : , noté , noté
On dit que la loi * sur admet un élément neutre s'il existe tel que Exemples 1) Pour l'addition usuelle, l'élément neutre est 0 : 2) Pour la multiplication usuelle, l'élément neutre est 1 : 3) L'élément neutre de la loi * définie comme exemple plus haut est 0 : 4) L'élément neutre de la loi définie sur l'ensemble des parties de l'ensemble est : 5) L'élément neutre de la loi définie sur est :
Soit , * une loi définie sur , admettant un élément neutre . On dira que admet un symétrique, ou que c'est un élément inversible, s'il existe un élément tel que Exemples 1) Dans les nombres réels, le symétrique d'un nombre est son opposé : 2) Dans l'ensemble des réels non nuls, le symétrique d'un nombre est son inverse, noté : 3) Dans muni de la loi * vue plus haut, cherchons le symétrique d'un nombre : soit ou On peut dire que tout admet un symétrique pour cette loi. Ce symétrique ne vaut pas -1 non plus, fort heureusement : , ce qui est impossible avec un réel . 4) Dans l'ensemble des matrices , de déterminant non nul : , muni de la multiplication dite "produit LICO" (ligne colonne) : (on multiplie "scalairement" les lignes de la matrice de gauche par les colonnes de la matrices de droite) l'élément neutre est la matrice unité et l'inverse de est
Soit * une loi définie sur . On dit qu'elle est commutative si pour tout , on a : Attention, la multiplication des matrices n'est pas commutative en général : Il existe des matrices telles que La composée de deux transformations géométriques n'est pas commutative en général : Si est la translation de vecteur et est la rotation de centre et d'angle , alors Deux rotations de même centre commutent : Mais deux rotations de centres différents ne commutent pas :
Soit un ensemble muni de la loi de composition interne * (on note l'ensemble muni de la loi ). __On dit que est un groupe s'il a les trois propriétés :
(noté désormais )
Exemples 1) est un groupe. 2) est un groupe. 3) Si est la relation définie par (on dit que est la congruence modulo ), alors est un groupe. 4) L'ensemble des rotations du plan de centre donné forme un groupe pour la loi de composition (composition de fonctions), en effet, pour des rotations , on a
5) L'ensemble des nombres complexes de module 1 muni de la multiplication : en effet,
Dans un groupe, la loi * est régulière à gauche et à droite, ce qui veut dire que tout élément est simplifiable à gauche et à droite, c'est-à-dire respectivement : (régularité à gauche) (régularité à droite) Preuve Supposons que ; cela veut dire que et sont un seul et même objet. On peut alors écrire, puisque tout élément d'un groupe admet un symétrique : et comme la loi * est associative : soit ou tout simplement . On prouve la régularité à droite de la même façon.
Jusqu'ici, nous avons parlé de l'existence de l'élément neutre dans un groupe, mais n'avons pas montré qu'il était unique. Supposons (preuve par l'absurde !) qu'il y en ait deux, Alors on pourrait écrire soit Comme la loi est régulière, cela implique , et il y a contradiction si l'on a supposé qu'il existait deux éléments neutres (). L'élément neutre de la loi * est donc unique.
Supposons que l'élément de ait deux symétriques distincts . Alors ce qui implique par régularité d'où contradiction. Il ne peut donc y avoir deux symétriques du même élément. Le symétrique d'un élément est unique.
1) Cherchons à résoudre l'équation en : . Composons à gauche par (grâce à l'associativité, nous pouvons faire l'économie des parenthèses) : soit 2) Résolvons de même l'équation : Composons à droite par : soit . On retiendra : et
Le symétrique de est . En effet, cherchons symétrique de : , donc , soit ceci entraîne , ou On vérifie qu'on a également
Dernière mise à jour: le 18.05.2008 à 01:23 Licence: Libre de partager, modifier - Devoir de citer la source - Pas d'utilisation commerciale Daskoo.org, partage de cours
