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Dernière version du 18.03.2009 19h50
1 Termes de Logique 2 Négation 2.1 Quantificateurs 2.2 Connecteurs "et", "ou" 2.3 Implications 2.4 Equivalence logique 2.5 Contraposée d'une implication 3 Vocabulaire des ensembles 3.1 Ensembles et éléments 3.2 Parties d'un ensemble, inclusion 3.3 Réunion et intersection 3.4 Complémentaire dans un ensemble ; différence d'ensembles
On peut nier une affirmation (ou propriété, ou proposition, ou assertion). On notera parfois une négation de . Si une affirmation est vraie, toute négation est fausse. Si est fausse, est vraie.
Exemple Une négation de est (en effet, pour nier "x<1", on dit "x n'est pas plus petit que 1", donc x est plus grand ou égal à 1)
Exemple se lit : "pour tout réel, est positif ou nul" ce qui revient à "tout nombre réel a son carré positif ou nul".
Exemple se lit : "il existe (au moins un) réel, dont le carré vaut ". (c'est vrai, il en existe même deux : )
Exemples Négation de "tout homme est fort" : "il existe au moins un homme qui n'est pas fort", ou Négation de "il existe une montagne de 12 000 m d'altitude" : "toutes les montagnes ont une altitude différente de 12 000 mètres", ou
Attention, est une affirmation qui est vraie si au moins l'une des deux affirmations est vraie.
Exemple signifie
est une affirmation qui est vraie si toutes les deux affirmations sont vraies.
Exemple signifie , soit .
Attention : lorsqu'on exprime une négation, les connecteurs se transforment l'un en l'autre :
Exemple Négation de "achète-moi du pain ou des croissants" : "n'achète ni pain ni croissants" soit signifie
Une implication ( ; taper : \Rightarrow avec majuscule) telle que signifie : "Si est vraie, alors est vraie ; sous-entendu : si n'est pas vraie, je n'ai rien dit !"
On peut donc écrire (puisque ) et aussi (puisque 2=3 est faux, la deuxième affirmation peut être vraie ou fausse. Ce n'est que si la première est vraie que la deuxième est obligatoirement vraie)
On dit que si l'on a à la fois et . (taper : \Leftrightarrow) Cela revient à dire que si et ont la même valeur de vérité (toutes deux vraies, ou toutes deux fausses) On écrira par exemple
On a l'importante équivalence suivante : (en fait, tout ceci se ramène à 1 < 4)
Nous avons mis en évidence l'équivalence :
On dit que la 2e implication est la contraposée de la première.
Exemple équivaut à
Un ensemble est une collection d'objets. Ces objets sont les éléments de l'ensemble considéré. On écrira par exemple (24 est un élément de l'ensemble des entiers naturels, ou 24 appartient à l'ensemble des entiers naturels) (taper : \in) et ( n'est pas un élément de l'ensemble des entiers naturels (ou : n'appartient pas à l'ensemble des entiers naturels) ; en bref, n'est pas un entier naturel) (taper : \notin)
On note les ensembles,
(ensemble des chiffres en système de numération décimale) (taper\left{ et \right} au début et à la fin de la liste)
(ensemble des entiers naturels) (ensemble des entiers rationnels, dits souvent "entiers relatifs")
(ensemble des nombres rationnels, qui sont les quotients de deux entiers)
Remarque / se lit "tel que ".
On dit qu'un ensemble est une partie d'un ensemble si tout élément de est un élément de . On dit aussi que est inclus dans , et l'on écrit (taper : \subset)
Exemples (l'ensemble des entiers naturels est une partie de l'ensemble des nombres rationnels) (l'intervalle ouvert est inclus dans l'intervalle fermé) (la droite est incluse dans le plan ) à ne pas confondre avec (le point appartient à la droite et au plan )
Etant donnés deux ensembles , leur réunion (lire : union ; taper : \cup)
et leur intersection (lire : inter ; taper : \cap)
Exemples :
Exemple : le complémentaire dans de est ; on peut écrire , ou
La différence d'ensembles (lire moins ; taper : \setminus) est l'ensemble des éléments de qui ne sont pas dans
Exemples et .
Dernière mise à jour: le 18.03.2009 à 20:50 Licence: Libre de partager, modifier - Devoir de citer la source - Pas d'utilisation commerciale Daskoo.org, partage de cours
