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1. Comme on a pour tout
et ,
il est clair que
Posons a priori
Il est assez légitime de poser , car est la somme de entiers, donc est la somme de 0 entier, donc est nul.
Mais , donc .
On a donc
soit
On a à identifier deux polynômes, donc à égaler leurs coefficients de même degré :
Donc
Résultat, on a bien
On obtient la formule de sommation
La vérification est facile : par exemple,
2. On a de même (pour tout )
et
Si l'on pose
alors
Encore une fois, identifions les deux polynômes ainsi égalés :
Ce qui donne immédiatement :
Le polynôme admet une racine évidente : -1, car 2 - 3 + 1 = 0. Il se factorise donc immédiatement en
En tout, on obtient la formule de sommation
3) Posons
On pose encore
On trouve de même (pour tout entier )
Soit (pour tout )
Ceci donne le système
Ceci donne immédiatement
ou finalement, la formule de sommation
Dernière mise à jour: le 19.08.2008 à 21:57 Licence: Libre de partager, modifier - Devoir de citer la source - Pas d'utilisation commerciale Daskoo.org, partage de cours
