ED2 - Equation différentielle du second ordre - Corrigé

1. Considérons l'équation

(1)

En posant , on a aussi

et

L'équation (1) s'écrit

Comme le facteur exponentiel ne s'annulera jamais, ceci revient à

• Si , on a deux solutions distinctes

• Si on n'a qu'une solution , mais vérifions que est aussi solution de (1) :

Donc

car (racine double puisque )
et
( est une racine du trinôme)

• Si , alors l'équation du second degré en admet deux racines complexes distinctes, conjuguées complexes l'une de l'autre :

que nous écrirons

Les solutions cherchées sont donc

et

Montrons qu'une combinaison linéaires de solutions de (1) est une solution de (1) :

Si sont des solutions de (1), on peut écrire

En multipliant les membres de la première équation par et ceux de la deuxième par et en additionnant membre à membre, on obtient

Ce qui signifie que est aussi solution de (1).

2. Considérons l'équation

(2)

Cherchons une solution particulière de forme

On a

L'équation (2) s'écrit

Ces deux polynômes sont égaux si leurs coefficients de même degré sont identiques :

Donc

A présent, si nous appelons la solution générale cherchée, on peut écrire

En soustrayant les deux équations membre à membre :

Autrement dit, la fonction est solution de l'équation

(2')

Cherchons des solutions sous forme  :

L'équation (2') s'écrit

soit

autrement dit

On a donc deux solutions de ce type :

et

Une combinaison linéaire quelconque de ces solutions est aussi solution de l'équation (2') :

Parmi toutes ces solutions, il y en a une infinité qui sont des fonctions réelles : il suffit de poser les conditions

ou
réel et imaginaire pur.

Ce qui revient à :

En tout, ()

Comme , la solution générale cherchée est , soit

b) Considérons l'équation

(3)

Cherchons d'abord une solution particulière, de forme
On a

L'équation (3) s'écrit

Identifions les coefficients correspondants :

d'où

Donc

Avec la même méthode que plus haut, on voit que, si est la solution générale cherchée, est solution de l'équation

(3')

Cherchons des solutions de forme  : elles satisfont à l'équation caractéristique :

Donc

Les solutions de cette forme sont

Les combinaisons linéaires, de forme , sont toutes dse solutions de (3')

La solution générale cherchée est donnée par

(avec )

On cherche la solution satisfaisant aux conditions

soit

ce qui donne :
<math>A=\frac{