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1 Définitions 1.1 Moment cinétique d'un point matériel M par rapport à un point A 1.2 Moment (dynamique) d'une force 2 Théorème du moment cinétique 2.1 Cas d'une particule en mouvement circulaire 2.2 Cas d'un solide tournant autour d'un axe 2.2.1 Exemples de moments d'inertie par rapport à un axe 2.3 Théorème d'Huygens
Soit, dans un référentiel donné, un point matériel M (on entend aussi par là : se trouvant au point M) de masse m et de vitesse , et un point A.
Le moment cinétique du point matériel M par rapport au point A est par définition
avec , impulsion du point matériel dans le référentiel considéré.
On remarquera que ce moment cinétique est nul si et sont colinéaires, c'est-à-dire si le mobile se dirige exactement vers A ou s'il s'en éloignait selon un rayon (observé dans le référentiel).
Exemple : objet ponctuel de masse m animé d'un mouvement circulaire autour d'un axe. L'axe passe par le centre O de la trajectoire circulaire, alors
Mais , alors
, où l'on a posé .
Le mouvement circulaire du mobile peut être repéré en coordonnées polaires par son angle par rapport à n'importe quel vecteur fixe du plan de rotation.
Par définition de l'angle en radians (ce qui est universel en mathématiques), on a , où s est appelé abscisse curviligne (disons que c'est la longueur de courbe parcourue depuis une origine arbitraire sur la trajectoier circulaire, au signe près, en définissant un sens positif de parcours).
On peut définir la vitesse angulaire (attention, ici la vitesse v est un nombre pouvant être positif ou négatif, selon que le mobile se déplace selon le sens positif ou négatif de parcours sur la trajectoire circulaire)
On a donc
Une force appliquée au point M a un moment (dynamique) par rapport au point A défini par le vecteur
Enoncé :
La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'une particule par rapport à un point A est le moment de la force résultante appliquée sur lui par rapport à ce même point :
Preuve :
Comme est colinéaire à , le théorème est démontré.
Considérons un corps ponctuel de masse m sur un mouvement circulaire. Soit O le centre du cercle. Alors son moment cinétique, nous l'avons vu, est un vecteur porté par l'axe de symétrie du cercle, de norme . S'il subit une force , le moment de cette force par rapport à O est le vecteur Le théorème du moment cinétique semble ne pas se vérifier si le moment de la force n'est pas dans l'axe de symétrie de la trajectoire circulaire. En fait, il est facile de s'apercevoir que, le mobile étant maintenu sur la trajectoire circulaire, seule la composante tangentielle au cercle de la force agit sur ce mobile, les deux autres composantes : celle perpendiculaire au plan de la trajectoire et celle (radiale) dirigée selon sont annulées par la réaction du support. Appelons la composante de la force appliquée tangente au cercle. On a et en appelant la norme de la composante de la force tangentielle au cercle.
D'un autre côté,
En tout, le théorème du moment cinétique s'écrit
On peut dire que cette équation est l'équivalent pour un mouvement circulaire du principe fondamental dela mécanique, , où la force est remplacée par un moment dynamique, la masse par (que nous appellerons élément de moment d'inertie), et l'accélération par l'accélération angulaire .
Un solide peut être considéré comme un ensemble de particules. Ce que nous avons écrit pour une particule en mouvement circulaire est valable pour toutes les particules du solide, tournant avec la même coordonnée angulaire , la même vitesse angulaire et la même accélération angulaire. On peut considérer un ensemble de forces s'appliquant sur les particules d'indice i. Chaque force a un moment par rapport au point O, et nous noterons la somme des moments .
On peut écrire, en sommant des équations :
On appellera moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation la grandeur :
Si le solide est défini, non pas par n particules étiquetées i=1,2,...,n, mais par une distribution volumique , cette définition se transcrit naturellement
1. Cylindre ou disque homogène tournant autour de son axe d'inertie Un cylindre ou un disque de rayon R et de masse M a un moment d'inertie par rapport à son axe :
Preuve : Découpons le cylindre ou le disque en "anneaux" définis par la partie de l'objet situés à une distance comprise entre r et r + dr de l'axe ; un tel "anneau" a un moment d'inertie (infinitésimal) de valeur :
, où h est l'épaisseur du cylindre ou du disque
or
Donc
Il ne reste plus qu'à "sommer" de r=0 à r=R :
2. Barre d'épaisseur négligeable, homogène, tournant autour d'un axe passant par son milieu et qui lui est perpendiculaire : On démontrera à titre d'exercice que
où l est la longueur de la barre.
3. Boule sphérique homogène, tournant autour d'un de ses axes de symétrie : On démontrera à titre d'exercice que
Enoncé : Soit un axe passant par le centre d'inertie d'un solide S, et un axe parallèle à . Soit d la distance entre ces axes, M la masse du solide. Alors les moments d'inertie du solide S par rapport à ces axes sont reliés par
, où A est un point de (nous avons vu plus haut que lors de la définition du moment d'inertie par rapport à un axe, le choix du point de l'axe pris au départ pour définir les vecteurs moment cinétique ou moment dynamique n'a aucune importance, il disparaît au cours des calculs)
, où O est un point de , que nous choisirons tel que
En développant,
Comme , le terme du milieu est nul, et l'on a prouvé le théorème.
Dernière mise à jour: le 02.01.2009 à 18:45 Licence: Libre de partager, modifier - Devoir de citer la source - Pas d'utilisation commerciale Daskoo.org, partage de cours
