Démonstration de la formule de l'énergie cinétique d'un solide en rotation

[modifier ( modifier-627-section-1.cours)]Principe, moment cinétique d'un solide par rapport à un axe

\right}</math> de masses et de distances à l'axe de rotation .
L'axe est considéré comme au repos dans le repère de l'observateur.
Donc la vitesse du corps numéroté est définie par
, où s est l'abscisse curviligne sur la trajectoire circulaire (c'est une longueur de trajectoire mesurée depuis une origine arbitraire, et affectée d'un signe + ou -).
Or on peut définir la vitesse angulaire du mouvement par (c'est un rapport de deux longueurs : par définition, un angle (en radians) est le rapport de la longueur d'arc parcouru au rayon du cercle. Ici, la distance parcourue pendant l'unité de temps est , et nous la divisons par r pour obtenir l'angle dont le point a tourné durant une unité de temps, soit .
Donc pour l'élément matériel numéro i, on a .
Or l'énergie cinétique de cet élément matériel est

Pour le corps tout entier, l'énergie cinétique est la somme de toutes ces énergies cinétiques :

avec

On appellera J le moment cinétique du corps solide par rapport à l'axe .

[modifier ( modifier-627-section-2.cours)]Exemples

1) Anneau mince tournant autour de son axe de symétrie
On considère cet anneau comme "mince" si son rayon est grand par rapport à son épaisseur.
Alors il est évident qu'on a

(puisque tous les )

2) Tige de longueur l et de masse m tournant autour d'une de ses extrémités autour d'un axe qui lui est perpendiculaire.
On peut subdiviser par la pensée cette tige en n morceaux de longueur .
On considère l'axe dont l'origine est le point de la tige où passe l'axe de rotation, et tel que l'abscisse de l'extrémité de la tige soit l.(\
Le moment d'inertie de la tige est

Pour , ceci tend vers .
On a donc :

3) Tige de longueur L et de masse m tournant autour d'un axe passant en son centre et qui lui est perpendiculaire.
On peut reprendre la formule précédente, en posant soit

Le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe est