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Dernière version du 30.09.2010 15h45
1 Introduction 2 Les bases 2.1 L'addition 2.2 La multiplication 2.3 L'inversion 3 La simplification 4 Le théorème de De Morgan 5 Quelques lois 5.1 L'associativité 5.2 La complémentarité 5.3 La commutativité 5.4 Idempotence 5.5 La distributivité 6 Conclusion
L'algèbre de Boole a été créée par George Boole ( http://fr.wikipedia.org/wiki/George_Boole) durant le 19ème siècle. L'algèbre de Boole est principalement utilisée en informatique et en électronique. Vous la trouverez partout : programmation, micro-contrôleur, eprom, logique combinatoire... Sans elle, vous ne seriez évidemment pas en train de lire ce cours
Nous avons déjà abordé l'algèbre de Boole durant le cours sur les portes logiques élémentaires ( 41-les-portes-logiques-elementaires.cours). Si la réponse n'est jamais complexe (soit 1, soit 0, donc soit VRAI, soit FAUX), on peut facilement oublier un paramètre. Revoyons les principes élémentaires :
L'addition (ou disjonction) est basée sur la fonction logique OU :
Nous pouvons noter ici que 1+1=1 et non 2 ! C'est du booléen, ne l'oubliez pas !
Un moyen mnémotechnique c'est de se dire : « Si j'ai A OU B ça marche ». Ceci afin de vous faire comprendre que l'on obtient OUI ou NON comme résultat (Principe du Booléen).
La multiplication (ou conjonction) est basée sur la fonction logique ET :
L'inversion (ou négation) est basée sur la fonction logique NON :
Jusqu'ici, rien de compliqué. Cependant, lorsque vous aurez une équation du type : , vous serez bien content de la réduire en avant de la résoudre non ? L'exemple ici est encore simple, mais avec la logique combinatoire, vous pouvez facilement atteindre de longues équations.
Ce théorème est bien utile lorsque nous ne voulons utiliser qu'un type de porte (par exemple, des NAND au lieu de NOR). Nous pouvons donc « casser » une barre pour changer de symbole ou au contraire, lier des expressions.
Voici quelques lois pour se simplifier la vie.
Elle permet d'enlever les parenthèses inutiles :
Si l'on inverse une variable inversée, elle devient non inversée : Le complément d'une variable plus la variable vaut toujours 1 : Dans le même goût : Une multiplication entre une variable et son complément vaut forcément 0 : .
Plus simple, il n'y a probablement pas : ou encore
tout comme 1+1=1 rappelez-vous...
Un poil plus dur, la distributivité : , comme dans les opérations habituelles des maths « normales ». Par contre, un petit piège :
L'algèbre de Boole n'est pas compliqué mais il faut faire attention à 2-3 pièges, surtout dans les grandes équations. Il faut toujours penser à simplifier un maximum afin de gagner du temps. Ce cours sera prochainement complété par une partie sur les tables de Karnaugh (ou alors un autre cours sur la logique combinatoire...).
Dernière mise à jour: le 30.09.2010 à 16:45 Licence: Libre de partager, modifier - Devoir de citer la source - Pas d'utilisation commerciale Daskoo.org, partage de cours
