Formulaire : Produits remarquables (ou identités remarquables)

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Sur cette page, nous retrouverons toutes les formules utiles qui servent « tout le temps ».
Il vous arrive parfois de devoir faire un exercice ou de devoir aider quelqu'un et vous n'avez malheureusement pas votre cahier sous la main, alors cette page vous sera utile en vous indiquant un maximum de formules.

__N'hésitez pas à ajouter d'autres formules !__

__Second degré__
<math>(a\,+\,b)^2\,=\,a^2\,+\,2ab\,+\,b^2</math>
(((a+b)²|carré d'une somme))

<math>(a\,-\,b)^2\,=\,a^2\,-\,2ab\,+\,b^2</math>
<math>a^2\,-\,b^2\,=\,(a\,+\,b)(a\,-\,b)</math>
((différence de deux carrés|différence de deux carrés))

Ajoutons pour les utilisateurs de nombres complexes (<math>i</math> est l'unité imaginaire, vérifiant <math>i^2=-1</math> ; les électriciens et électroniciens l'appellent <math>j</math>) :

<math>(a-ib)(a+ib)=a^2+b^2</math>
(ce qui traduit l'égalité <math>z\bar{z}=|z|^2</math>)

__Troisième degré__
<math>(a\,+\,b)^3\,=\,a^3\,+\,3\,a^2b\,+\,3\,ab^2\,+\,b^3</math>

((cube d'une somme|(a+b)^3))

De manière générale :
<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k</math>
On note aussi cette égalité
<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k} y^k</math>
avec :
<math>{n \choose k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}</math>
ou 
<math>C_n^k=\frac {n!}{k!(n-k)!}</math> 
Ces entiers <math>C_n^k=\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)</math> sont appelés ''coefficients binômiaux''.
Les <math>C_n^k={n \choose k}</math> se trouvent très facilement à l'aide du triangle de Pascal :
(n = 1) 1   1
(n = 2) 1   2   1
(n = 3) 1   3   3   1
(n = 4) 1   4   6   4   1
(n = 5) 1   5  10  10   5   1
(n = 6) 1   6  15  20  15   6   1
...
Ce triangle est un tableau dont les colonnes sont rangées par valeurs de k (k = 0, 1, 2, ..., n)
Il utilise la propriété fondamentale des <math>C_n^p = {n \choose k}</math> suivante :
                              <math>C_{n+1}^p = C_n^p + C_n^{p-1}</math>
ou       
                              <math>{n+1 \choose p}={n \choose p}+{n \choose {p-1}}</math>
(Autrement dit, chaque élément du tableau est la somme du terme placé au-dessus de lui et du voisin de gauche de celui-ci)
Par exemple, on peut écrire sans aucun effort :
            <math>(a + b)^6=a^6+6a^5 b+15a^4 b^2+20a^3 b^3+15a^2 b^4+6ab^5+b^6</math>
__Multinôme__ :

<math>(x_1 +x_2 +x_3 +...+x_n)^p = \sum_{\begin{cases}\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n=p\\\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n \in \mathbb{N}\end{cases}} \frac {p!}{\alpha_1!\alpha_2!...\alpha_n!}x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}...x_n^{\alpha_n}</math>
En particulier, il est utile et pratique de savoir que 
<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca</math>
<math>(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2 b+3a^2 c+3b^2 a+3b^2 c + 3c^2 a+3c^2 b + 6abc</math>
__Généralisation de la factorisation de <math>a^2-b^2</math> et <math>a^3-b^3</math>__
<math>a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)</math>
<math>a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)</math>
.....
Ceci reste vrai pour <math>n \in \mathbb{N}^*</math> quelconque :
<math>a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+...+b^{n-1})</math>
On remarquera que pour tout <math>n \in \mathbb{N}^*</math>, la dernière parenthèse contient exactement <math>n</math> termes.
En posant <math>a=1</math>, on obtient la formule vraie pour tout <math>n \in \mathbb{N}^*</math> :
<math>1-q^n=(1-q)(1+q+q^2+...+q^{n-1})</math>
que l'on retient surtout comme formule de sommation (à condition que <math>q \neq 1</math>) :
<math>1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>

N'hésitez pas à ajouter d'autres formules !

Second degré
$Formule mathématique$
carré d'une somme

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
différence de deux carrés

Ajoutons pour les utilisateurs de nombres complexes ( $Formule mathématique$ est l'unité imaginaire, vérifiant $Formule mathématique$ ; les électriciens et électroniciens l'appellent $Formule mathématique$ ) :

$Formule mathématique$
(ce qui traduit l'égalité $Formule mathématique$ )

Troisième degré
$Formule mathématique$

(a+b)^3

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

De manière générale :
$Formule mathématique$
On note aussi cette égalité
$Formule mathématique$
avec :
$Formule mathématique$
ou
$Formule mathématique$
Ces entiers $Formule mathématique$ sont appelés coefficients binômiaux.
Les $Formule mathématique$ se trouvent très facilement à l'aide du triangle de Pascal :
(n = 1) 1 1
(n = 2) 1 2 1
(n = 3) 1 3 3 1
(n = 4) 1 4 6 4 1
(n = 5) 1 5 10 10 5 1
(n = 6) 1 6 15 20 15 6 1
...
Ce triangle est un tableau dont les colonnes sont rangées par valeurs de k (k = 0, 1, 2, ..., n)
Il utilise la propriété fondamentale des $Formule mathématique$ suivante :
$Formule mathématique$
ou
$Formule mathématique$
(Autrement dit, chaque élément du tableau est la somme du terme placé au-dessus de lui et du voisin de gauche de celui-ci)
Par exemple, on peut écrire sans aucun effort :
$Formule mathématique$
Multinôme :

$Formule mathématique$
En particulier, il est utile et pratique de savoir que
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Généralisation de la factorisation de $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
.....
Ceci reste vrai pour $Formule mathématique$ quelconque :
$Formule mathématique$
On remarquera que pour tout $Formule mathématique$ , la dernière parenthèse contient exactement $Formule mathématique$ termes.
En posant $Formule mathématique$ , on obtient la formule vraie pour tout $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
que l'on retient surtout comme formule de sommation (à condition que $Formule mathématique$ ) :
$Formule mathématique$

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