Formulaire : Vecteurs

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Sur cette page, nous retrouverons toutes les formules utiles qui servent « tout le temps ».
Il vous arrive parfois de devoir faire un exercice ou de devoir aider quelqu'un et vous n'avez malheureusement pas votre cahier sous la main, alors cette page vous sera utile en vous indiquant un maximum de formules.

__N'hésitez pas à ajouter d'autres formules !__

Coordonnées du milieu d'un segment :
I milieu de <math>\[AB\]</math>
<math>A(x_A;y_A)</math>
<math>B(x_B;y_B)</math>
<math>I\Bigl(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\Bigr)</math>

=Vecteurs=

__Coordonnées d'un point dans un repère <math>R=(O,\vec{i},\vec{j})</math> et coordonnées du vecteur <math>\vec{OM}</math> dans la base associée    <math>B=(\vec{i},\vec{j})</math>__ :
<math>M(x;y)\,dans\,R\Leftrightarrow \vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}</math>

__Relation de Chasles :__

__Forme additive__ (connue) : <math>\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}</math>
__Forme soustractive__ (très utile) : 
<math>\vec{AB}=\vec{MB}-\vec{MA}</math>
<math>\, \, \, \,\,\,\,=\vec{PB}-\vec{PA}</math>
<math>\, \, \, \,\,\,\,=\vec{OB}-\vec{OA}</math>
<math>\, \, \, \,\,\,\,=\vec{XB}-\vec{XA}....</math>

__Coordonnées d'un vecteur <math>\vec{AB}</math>__ :
<math>\vec{AB}(x_B - x_A;y_B - y_A)</math>, car <math>\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}</math>

__Lois de composition__ :

si <math>\vec{u}=(x;y)</math> et <math>\vec{v}=(x';y')</math>, et <math>a\in \mathbb{R}</math>,

__Calculer la norme (longueur) d'un vecteur dans un repère orthonormé__ :
<math>AB=\sqrt{(x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2}</math>

__Vecteurs <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> colinéaires__ : 
ssi il existe <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> tel que <math>\vec{u}=\lambda \vec{v}</math>  ou  <math>\vec{v}=\lambda \vec{u}</math>

Si <math>\vec{u}=(x;y)</math> et <math>\vec{v}=(x';y')</math>, cela veut dire
(<math>x=\lambda x'</math>   et   <math>y=\lambda y'</math>)  ou
(<math>x'=\lambda x</math>   et  <math>y'=\lambda y</math>)

__<math>\vec{0}</math> est colinéaire à tout vecteur <math>\vec{u}</math>__, car <math>\vec{0}=0.\vec{u}</math>.

__Deux vecteurs <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul__ : 
<math>\vec{u}</math>  et  <math>\vec{v}</math>  colinéaires si et seulement si 
<math> Det(\vec{u},\vec{v})=0\Leftrightarrow \left|\begin{array}{cc} x & x' \ y & y' \end{array}\right|=xy'-x'y=0</math>

__Deux vecteurs <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> sont orthogonaux si (la base étant orthonormale)__ :
<math>xx'+yy'=0</math>

Ainsi, <math>\vec{u}=\left(\begin{array}{c} a \ b \end{array}\right)</math> est orthogonal à <math>\vec{v}=\left(\begin{array}{c} -b \ a \end{array}\right)</math> :

Un vecteur directeur de la droite d'équation <math>y=ax+b</math> est <math>\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 1 \ a \end{array}\right)</math>
et un vecteur normal (càd orthogonal) à cette même droite (en repère orthonormal) est <math>\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -a \ 1 \end{array}\right)</math>.
Un vecteur directeur de la droite d'équation <math>ax+by+c=0</math> est <math>\vec{u}=\left(\begin{array}{c} -b \ a \end{array}\right)</math>, et un vecteur normal à cette même droite (si le repère est orthonormal) est <math> \vec{n}=\left(\begin{array}{c} a \ b \end{array}\right)</math>.

N'hésitez pas à ajouter d'autres formules !

Coordonnées du milieu d'un segment :
I milieu de $Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Vecteurs

Coordonnées d'un point dans un repère $Formule mathématique$ et coordonnées du vecteur $Formule mathématique$ dans la base associée $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$

Relation de Chasles :

Forme additive (connue) : $Formule mathématique$
Forme soustractive (très utile) :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Coordonnées d'un vecteur $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$ , car $Formule mathématique$

Lois de composition :

si $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$ ,

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Calculer la norme (longueur) d'un vecteur dans un repère orthonormé :
$Formule mathématique$

Vecteurs $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ colinéaires :
ssi il existe $Formule mathématique$ tel que $Formule mathématique$ ou $Formule mathématique$

Si $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , cela veut dire
( $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ ) ou
( $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ )

$Formule mathématique$ est colinéaire à tout vecteur $Formule mathématique$ , car $Formule mathématique$ .

Deux vecteurs $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
$Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ colinéaires si et seulement si
$Formule mathématique$

Deux vecteurs $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont orthogonaux si (la base étant orthonormale) :
$Formule mathématique$

Ainsi, $Formule mathématique$ est orthogonal à $Formule mathématique$ :

Un vecteur directeur de la droite d'équation $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$
et un vecteur normal (càd orthogonal) à cette même droite (en repère orthonormal) est $Formule mathématique$ .
Un vecteur directeur de la droite d'équation $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ , et un vecteur normal à cette même droite (si le repère est orthonormal) est $Formule mathématique$ .

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