Formulaire : Vecteurs

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=Vecteurs=

__Coordonnées d'un point dans un repère <math>R=(O,\vec{i},\vec{j})</math> et coordonnées du vecteur <math>\vec{OM}</math> dans la base associée    <math>B=(\vec{i},\vec{j})</math>__ :
<math>M(x;y)\,dans\,R\Leftrightarrow \vec{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}</math>

__Relation de Chasles :__

__Forme additive__ (connue) : <math>\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}</math>
__Forme soustractive__ (très utile) : 
<math>\vec{AB}=\vec{MB}-\vec{MA}</math>
<math>\, \, \, \,\,\,\,=\vec{PB}-\vec{PA}</math>
<math>\, \, \, \,\,\,\,=\vec{OB}-\vec{OA}</math>
<math>\, \, \, \,\,\,\,=\vec{XB}-\vec{XA}....</math>

__Coordonnées d'un vecteur <math>\vec{AB}</math>__ :
<math>\vec{AB}(x_B - x_A;y_B - y_A)</math>, car <math>\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}</math>

__Lois de composition__ :

si <math>\vec{u}=(x;y)</math> et <math>\vec{v}=(x';y')</math>, et <math>a\in \mathbb{R}</math>,

__Calculer la norme (longueur) d'un vecteur dans un repère orthonormé__ :
<math>AB=\sqrt{(x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2}</math>

__Vecteurs <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> colinéaires__ : 
ssi il existe <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> tel que <math>\vec{u}=\lambda \vec{v}</math>  ou  <math>\vec{v}=\lambda \vec{u}</math>

Si <math>\vec{u}=(x;y)</math> et <math>\vec{v}=(x';y')</math>, cela veut dire
(<math>x=\lambda x'</math>   et   <math>y=\lambda y'</math>)  ou
(<math>x'=\lambda x</math>   et  <math>y'=\lambda y</math>)

__<math>\vec{0}</math> est colinéaire à tout vecteur <math>\vec{u}</math>__, car <math>\vec{0}=0.\vec{u}</math>.

__Deux vecteurs <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul__ : 
<math>\vec{u}</math>  et  <math>\vec{v}</math>  colinéaires si et seulement si 
<math> Det(\vec{u},\vec{v})=0\Leftrightarrow \left|\begin{array}{cc} x & x' \ y & y' \end{array}\right|=xy'-x'y=0</math>

__Deux vecteurs <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> sont orthogonaux si (la base étant orthonormale)__ :
<math>xx'+yy'=0</math>

Ainsi, <math>\vec{u}=\left(\begin{array}{c} a \ b \end{array}\right)</math> est orthogonal à <math>\vec{v}=\left(\begin{array}{c} -b \ a \end{array}\right)</math> :

Un vecteur directeur de la droite d'équation <math>y=ax+b</math> est <math>\vec{u}=\left(\begin{array}{c} 1 \ a \end{array}\right)</math>
et un vecteur normal (càd orthogonal) à cette même droite (en repère orthonormal) est <math>\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -a \ 1 \end{array}\right)</math>.
Un vecteur directeur de la droite d'équation <math>ax+by+c=0</math> est <math>\vec{u}=\left(\begin{array}{c} -b \ a \end{array}\right)</math>, et un vecteur normal à cette même droite (si le repère est orthonormal) est <math> \vec{n}=\left(\begin{array}{c} a \ b \end{array}\right)</math>.

Vecteurs

Coordonnées d'un point dans un repère $Formule mathématique$ et coordonnées du vecteur $Formule mathématique$ dans la base associée $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$

Relation de Chasles :

Forme additive (connue) : $Formule mathématique$
Forme soustractive (très utile) :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Coordonnées d'un vecteur $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$ , car $Formule mathématique$

Lois de composition :

si $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$ ,

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Calculer la norme (longueur) d'un vecteur dans un repère orthonormé :
$Formule mathématique$

Vecteurs $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ colinéaires :
ssi il existe $Formule mathématique$ tel que $Formule mathématique$ ou $Formule mathématique$

Si $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , cela veut dire
( $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ ) ou
( $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ )

$Formule mathématique$ est colinéaire à tout vecteur $Formule mathématique$ , car $Formule mathématique$ .

Deux vecteurs $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
$Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ colinéaires si et seulement si
$Formule mathématique$

Deux vecteurs $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont orthogonaux si (la base étant orthonormale) :
$Formule mathématique$

Ainsi, $Formule mathématique$ est orthogonal à $Formule mathématique$ :

Un vecteur directeur de la droite d'équation $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$
et un vecteur normal (càd orthogonal) à cette même droite (en repère orthonormal) est $Formule mathématique$ .
Un vecteur directeur de la droite d'équation $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ , et un vecteur normal à cette même droite (si le repère est orthonormal) est $Formule mathématique$ .

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