Formulaire : Équations

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Sur cette page, nous retrouverons toutes les formules utiles qui servent « tout le temps ».
Il vous arrive parfois de devoir faire un exercice ou de devoir aider quelqu'un et vous n'avez malheureusement pas votre cahier sous la main, alors cette page vous sera utile en vous indiquant un maximum de formules.

__N'hésitez pas à ajouter d'autres formules !__

=Résoudre une équation du second degré=

Pour approfondir, voir le cours [[Les équations du 2ème degré à 1 inconnue|http://www.daskoo.org/18-les-equations-du-2eme-degre-a-1-inconnue.cours]].

<math>ax^2\,+\,bx\,+\,c\,=\,0</math>
Où a,b et c sont des nombres réels.

* __Si <math>b^2-4ac > 0 </math>, deux solutions réelles :__
    <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>     
- L'addition de ces deux solutions <math>=\frac{-b}{a}</math>
- La multiplication de ces deux solutions <math>=\frac{c}{a}</math>

* __Si <math>b^2-4ac = 0 </math>, une unique solution réelle (solution double) :__
    <math>x=\frac{-b}{2a}</math>
* __Si <math>b^2-4ac < 0 </math>, zéro solution réelle, deux solutions complexes conjuguées :__
    <math>x=\frac{-b\pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}</math>

* Soit <math>Cf</math> une parabole de sommet <math>S(x_S;y_S)</math> :
alors, <math>f(x)=a(x-x_S)^2+y_S</math>

En pratique, pour mettre <math>ax^2+bx+c</math> sous la forme ''canonique'' <math>a(x-x_S)^2+y_S</math>, il suffit d'utiliser la ''"formule magique"'' :
<math>x^2+kx=(x+\frac{k}{2})^2-(\frac{k}{2})^2</math> ; 
dans le cas général, elle donne :
<math>ax^2+bx+c=a[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}]=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}</math>
d'où <math>x_S=-\frac{b}{2a}</math> et <math>y_S=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{\Delta}{4a}</math>

N'hésitez pas à ajouter d'autres formules !

Résoudre une équation du second degré

Pour approfondir, voir le cours Les équations du 2ème degré à 1 inconnue ( go to http://www.daskoo.org/18-les-equations-du-2eme-degre-a-1-inconnue.cours).

$Formule mathématique$
Où a,b et c sont des nombres réels.

Si $Formule mathématique$ , deux solutions réelles :

$Formule mathématique$
- L'addition de ces deux solutions $Formule mathématique$
- La multiplication de ces deux solutions $Formule mathématique$

Si $Formule mathématique$ , une unique solution réelle (solution double) :

$Formule mathématique$

Si $Formule mathématique$ , zéro solution réelle, deux solutions complexes conjuguées :

$Formule mathématique$

Soit $Formule mathématique$ une parabole de sommet $Formule mathématique$ :

alors, $Formule mathématique$

En pratique, pour mettre $Formule mathématique$ sous la forme canonique $Formule mathématique$ , il suffit d'utiliser la "formule magique" :
$Formule mathématique$ ;
dans le cas général, elle donne :
$Formule mathématique$
d'où $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$

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Résoudre une équation du second degré