Formulaire : Équations

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=Résoudre une équation du second degré=

Pour approfondir, voir le cours [[Les équations du 2ème degré à 1 inconnue|http://www.daskoo.org/18-les-equations-du-2eme-degre-a-1-inconnue.cours]].

<math>ax^2\,+\,bx\,+\,c\,=\,0</math>
Où a,b et c sont des nombres réels.

* __Si <math>b^2-4ac > 0 </math>, deux solutions réelles :__
    <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>     
- L'addition de ces deux solutions <math>=\frac{-b}{a}</math>
- La multiplication de ces deux solutions <math>=\frac{c}{a}</math>

* __Si <math>b^2-4ac = 0 </math>, une unique solution réelle (solution double) :__
    <math>x=\frac{-b}{2a}</math>
* __Si <math>b^2-4ac < 0 </math>, zéro solution réelle, deux solutions complexes conjuguées :__
    <math>x=\frac{-b\pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}</math>

* Soit <math>Cf</math> une parabole de sommet <math>S(x_S;y_S)</math> :
alors, <math>f(x)=a(x-x_S)^2+y_S</math>

En pratique, pour mettre <math>ax^2+bx+c</math> sous la forme ''canonique'' <math>a(x-x_S)^2+y_S</math>, il suffit d'utiliser la ''"formule magique"'' :
<math>x^2+kx=(x+\frac{k}{2})^2-(\frac{k}{2})^2</math> ; 
dans le cas général, elle donne :
<math>ax^2+bx+c=a[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}]=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}</math>
d'où <math>x_S=-\frac{b}{2a}</math> et <math>y_S=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{\Delta}{4a}</math>

Résoudre une équation du second degré

Pour approfondir, voir le cours Les équations du 2ème degré à 1 inconnue ( go to http://www.daskoo.org/18-les-equations-du-2eme-degre-a-1-inconnue.cours).

$Formule mathématique$
Où a,b et c sont des nombres réels.

Si $Formule mathématique$ , deux solutions réelles :

$Formule mathématique$
- L'addition de ces deux solutions $Formule mathématique$
- La multiplication de ces deux solutions $Formule mathématique$

Si $Formule mathématique$ , une unique solution réelle (solution double) :

$Formule mathématique$

Si $Formule mathématique$ , zéro solution réelle, deux solutions complexes conjuguées :

$Formule mathématique$

Soit $Formule mathématique$ une parabole de sommet $Formule mathématique$ :

alors, $Formule mathématique$

En pratique, pour mettre $Formule mathématique$ sous la forme canonique $Formule mathématique$ , il suffit d'utiliser la "formule magique" :
$Formule mathématique$ ;
dans le cas général, elle donne :
$Formule mathématique$
d'où $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$

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