Comparer deux réels positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés ou leurs racines carrées

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Comparaison de deux nombres positifs ou nuls

Nous allons démontrer l'important principe suivant :
"Comparer deux réels positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés ou leurs racines carrées".
Preuve :
Soient $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ .
Considérons la différence
$Formule mathématique$
Or $Formule mathématique$ , donc :
$Formule mathématique$ est toujours du même signe que $Formule mathématique$ .
On peut donc énoncer :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$
On peut poser aussi $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$
et donc $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$
et l'on peut énoncer également
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$ .

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Comparer deux réels positifs ou nuls équivaut à comparer leurs carrés ou leurs racines carrées

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