Une formule "magique" !

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=Une formule "magique"=
Tous les élèves sortant de Collège connaissent 
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (1)</math>
et 
<math>(a-b)(a+b)=a^2-b^2 (2)</math>
En fait, ces deux "identités remarquables" ne sont qu'une seule et même formule, elles ont même une troisième formulation, en vérité la plus intéressante de toutes, que j'appellerai __"la formule magique"__ :
<math>x^2+kx=(x+\frac{k}{2})^2-(\frac{k}{2})^2 </math>
__Preuve :__
Dans (1), posons <math>a=x</math> et 
 <math>b=\frac{k}{2}</math>
On obtient 
<math>(x+\frac{k}{2})^2=x^2+2x\frac{k}{2}+(\frac{k}{2})^2</math>
En simplifiant et faisant passer un terme dans l'autre membre, on obtient bien (3).
''Autre preuve :''
Dans (2), poser <math>a=x+\frac{k}{2}</math> et <math>b=\frac{k}{2}</math>.
On obtient )<math>(x+\frac{k}{2}-\frac{k}{2})(x+\frac{k}{2}+\frac{k}{2})=x(x+k)=x^2+kx=(x+\frac{k}{2})^2-(\frac{k}{2})^2</math>
__Applications__
==Factorisations==
Par exemple, on peut (eh oui  :) ) factoriser <math>x^2-x-6</math>
En appliquant la formule "magique" avec <math>k = -1</math>, on trouve
<math>(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-6=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}</math>
Mais alors
<math>x^2-x-6=(x-\frac{1}{2}-\frac{5}{2})(x-\frac{1}{2}+\frac{5}{2})=(x-3)(x+2)</math>
Un vrai miracle, non ? :p 
==Minima et maxima de certaines expressions==
<math>x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}</math>
L'expression est clairement la somme de deux nombres, l'un de valeur fixe : <math>\frac{3}{4}</math>,
et l'autre, un carré, de valeur variable entre 0 et <math>+\infty</math>.
Donc <math>x^2+x+1</math>  présente un minimum de valeur <math>\frac{3}{4}</math>, ce minimum étant atteint lorsque <math>x+\frac{1}{2}=0</math>, soit pour <math>x=-\frac{1}{2}</math>.
==Tracé de courbes représentant des trinômes du second degré==
Reprenons l'exemple <math>f:x\mapsto x^2+x+1</math>.
Nous venons de voir que f(x) atteint une valeur minimale, <math>\frac{3}{4}</math>, lorsque <math>x=-\frac{1}{2}</math>.
On trace donc une parabole de sommet <math>S(-\frac{1}{2};\frac{3}{4})</math>. 
Comme <math>f(0)=1</math>, la parabole passe également par le point <math>A(0;1)</math> sur l'axe <math>(Oy)</math>.
Comme la parabole a un axe de symétrie vertical passant par <math>S</math>, on a également un point <math>B(-1;1)</math> symétrique de <math>A</math> par rapport à cet axe.
Le tracé de la parabole d'équation <math>y=x^2+x+1</math> est donc d'une simplicité enfantine.
==Signes d'expressions==
En factorisant des expressions du second degré, on obtient des expressions du premier degré dont le signe est évident. Puis à l'aide d'un tableau de signes ou de la seule règle des signes, on trouve le signe de l'expression qui est le produit de ces deux expressions du premier degré.
En fait, en Première, on apprendra à faire mieux : un trinôme <math>ax^2+bx+c</math>  est du signe de <math>a</math> à l'extérieur de ses racines <math>x',x"</math> et du signe contraire entre ses racines.
Il y a d'autres applications, je vous laisse le plaisir de découvrir ces richesses que recèle une formule si simple, si petite !

Sommaire

1 Une formule "magique"
1.1 Factorisations
1.2 Minima et maxima de certaines expressions
1.3 Tracé de courbes représentant des trinômes du second degré
1.4 Signes d'expressions

Une formule "magique"

Tous les élèves sortant de Collège connaissent
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$
En fait, ces deux "identités remarquables" ne sont qu'une seule et même formule, elles ont même une troisième formulation, en vérité la plus intéressante de toutes, que j'appellerai "la formule magique" :
$Formule mathématique$
Preuve :
Dans (1), posons $Formule mathématique$ et
$Formule mathématique$
On obtient
$Formule mathématique$
En simplifiant et faisant passer un terme dans l'autre membre, on obtient bien (3).
Autre preuve :
Dans (2), poser $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ .
On obtient ) $Formule mathématique$
Applications

Factorisations

Par exemple, on peut (eh oui ) factoriser $Formule mathématique$
En appliquant la formule "magique" avec $Formule mathématique$ , on trouve
$Formule mathématique$
Mais alors
$Formule mathématique$
Un vrai miracle, non ?

Minima et maxima de certaines expressions

$Formule mathématique$
L'expression est clairement la somme de deux nombres, l'un de valeur fixe : $Formule mathématique$ ,
et l'autre, un carré, de valeur variable entre 0 et $Formule mathématique$ .
Donc $Formule mathématique$ présente un minimum de valeur $Formule mathématique$ , ce minimum étant atteint lorsque $Formule mathématique$ , soit pour $Formule mathématique$ .

Tracé de courbes représentant des trinômes du second degré

Reprenons l'exemple $Formule mathématique$ .
Nous venons de voir que f(x) atteint une valeur minimale, $Formule mathématique$ , lorsque $Formule mathématique$ .
On trace donc une parabole de sommet $Formule mathématique$ .
Comme $Formule mathématique$ , la parabole passe également par le point $Formule mathématique$ sur l'axe $Formule mathématique$ .
Comme la parabole a un axe de symétrie vertical passant par $Formule mathématique$ , on a également un point $Formule mathématique$ symétrique de $Formule mathématique$ par rapport à cet axe.
Le tracé de la parabole d'équation $Formule mathématique$ est donc d'une simplicité enfantine.

Signes d'expressions

En factorisant des expressions du second degré, on obtient des expressions du premier degré dont le signe est évident. Puis à l'aide d'un tableau de signes ou de la seule règle des signes, on trouve le signe de l'expression qui est le produit de ces deux expressions du premier degré.
En fait, en Première, on apprendra à faire mieux : un trinôme $Formule mathématique$ est du signe de $Formule mathématique$ à l'extérieur de ses racines $Formule mathématique$ et du signe contraire entre ses racines.
Il y a d'autres applications, je vous laisse le plaisir de découvrir ces richesses que recèle une formule si simple, si petite !

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