La formule de Héron (excellent exercice de calcul)

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=Formule de Héron d'Alexandrie (excellent exercice de calcul)=
''Enoncé'' : 
L'aire d'un triangle dont les longueurs des côtés sont <math>a,b,c</math> est, en posant <math>p=\frac{1}{2}(a+b+c)</math> (demi-périmètre) :
<math>\mathbb{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>
==Rappels==
===Formule de l'aire d'un triangle===
Soit un triangle <math>ABC</math>. Si l'on pose <math>a=BC,b=AC,c=AB</math>, <math>\hat A=\widehat{BAC}</math>, etc., l'aire du triangle est
<math>\mathbb{A}=\frac{1}{2}ab \sin \hat C</math>
soit encore
<math>\mathbb{A}=\frac{1}{2}bc \sin \hat A</math>
ou
<math>\mathbb{A}=\frac{1}{2}ac \sin \hat B</math>
''Preuve'' : immédiate. On utilise la formule : <math>Aire=\frac{Base \times Hauteur}{2}</math>
et la hauteur relative au sommet <math>B</math> se calcule avec le sinus de <math>\hat A</math>.
===Formule d'Al Kashi===
Soit un triangle <math>ABC</math> avec les mêmes notations que plus haut. On a
<math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat A</math>
et donc aussi
<math>b^2=a^2+c^2-2ac\cos \hat B</math>
<math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos \hat C</math>
''Preuve'' : définition du cosinus, du sinus, et un peu d'identités remarquables. On trace une hauteur, pour utiliser les rapports trigonométriques.
 ==Preuve de la Formule de Héron==
D'après Al Kashi, on peut tirer de 
<math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat A</math>
la valeur de <math>\cos \hat A</math> :
<math>\cos \hat A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math>
Dans un triangle, les trois angles sont inférieurs à 180°, donc <math>\sin \hat A>0</math>
On peut écrire
<math>\sin^2 \hat A=1-\cos^2 \hat A</math>, et <math>\sin \hat A=\sqrt{1-\cos^2 \hat A}</math>
soit :
<math>\sin \hat A=\sqrt{1-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{(2bc)^2}}</math>
<math>=\frac{1}{2bc}\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}</math>
Or l'aire du triangle vaut
<math>\mathbb{A}=\frac{1}{2}bc\sin \hat A=\frac{1}{4}\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}</math>
<math>=\frac{1}{4}\sqrt{(2bc-b^2-c^2+a^2)(2bc+b^2+c^2-a^2)}</math>
<math>=\frac{1}{4}\sqrt{[a^2-(b-c)^2][(b+c)^2-a^2]}</math>
<math>=\frac{1}{4}\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}</math>
Or <math>2p-2a=b+c-a</math> ; <math>2p-2b=a+c-b</math> ; <math>2p-2c=a+b-c</math>
Donc
<math>\mathbb{A}=\frac{1}{4}\sqrt{(2p)(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}</math>
soit finalement 
<math>\mathbb{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>.

Sommaire

1 Formule de Héron d'Alexandrie (excellent exercice de calcul)
1.1 Rappels
1.1.1 Formule de l'aire d'un triangle
1.1.2 Formule d'Al Kashi
1.2 Preuve de la Formule de Héron

Formule de Héron d'Alexandrie (excellent exercice de calcul)

Enoncé :
L'aire d'un triangle dont les longueurs des côtés sont $Formule mathématique$ est, en posant $Formule mathématique$ (demi-périmètre) :
$Formule mathématique$

Rappels

Formule de l'aire d'un triangle

Soit un triangle $Formule mathématique$ . Si l'on pose $Formule mathématique$ , $Formule mathématique$ , etc., l'aire du triangle est
$Formule mathématique$
soit encore
$Formule mathématique$
ou
$Formule mathématique$
Preuve : immédiate. On utilise la formule : $Formule mathématique$
et la hauteur relative au sommet $Formule mathématique$ se calcule avec le sinus de $Formule mathématique$ .

Formule d'Al Kashi

Soit un triangle $Formule mathématique$ avec les mêmes notations que plus haut. On a
$Formule mathématique$
et donc aussi
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Preuve : définition du cosinus, du sinus, et un peu d'identités remarquables. On trace une hauteur, pour utiliser les rapports trigonométriques.

Preuve de la Formule de Héron

D'après Al Kashi, on peut tirer de
$Formule mathématique$
la valeur de $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
Dans un triangle, les trois angles sont inférieurs à 180°, donc $Formule mathématique$
On peut écrire
$Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$
soit :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Or l'aire du triangle vaut
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Or $Formule mathématique$ ; $Formule mathématique$ ; $Formule mathématique$
Donc
$Formule mathématique$
soit finalement
$Formule mathématique$ .