La formule de Héron (excellent exercice de calcul)

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==Preuve de la Formule de Héron==
D'après Al Kashi, on peut tirer de 
<math>a^2=b^2+c^2-2bc\cos \hat A</math>
la valeur de <math>\cos \hat A</math> :
<math>\cos \hat A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}</math>
Dans un triangle, les trois angles sont inférieurs à 180°, donc <math>\sin \hat A>0</math>
On peut écrire
<math>\sin^2 \hat A=1-\cos^2 \hat A</math>, et <math>\sin \hat A=\sqrt{1-\cos^2 \hat A}</math>
soit :
<math>\sin \hat A=\sqrt{1-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{(2bc)^2}}</math>
<math>=\frac{1}{2bc}\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}</math>
Or l'aire du triangle vaut
<math>\mathbb{A}=\frac{1}{2}bc\sin \hat A=\frac{1}{4}\sqrt{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}</math>
<math>=\frac{1}{4}\sqrt{(2bc-b^2-c^2+a^2)(2bc+b^2+c^2-a^2)}</math>
<math>=\frac{1}{4}\sqrt{[a^2-(b-c)^2][(b+c)^2-a^2]}</math>
<math>=\frac{1}{4}\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}</math>
Or <math>2p-2a=b+c-a</math> ; <math>2p-2b=a+c-b</math> ; <math>2p-2c=a+b-c</math>
Donc
<math>\mathbb{A}=\frac{1}{4}\sqrt{(2p)(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}</math>
soit finalement 
<math>\mathbb{A}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>.

Preuve de la Formule de Héron

D'après Al Kashi, on peut tirer de
$Formule mathématique$
la valeur de $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
Dans un triangle, les trois angles sont inférieurs à 180°, donc $Formule mathématique$
On peut écrire
$Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$
soit :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Or l'aire du triangle vaut
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Or $Formule mathématique$ ; $Formule mathématique$ ; $Formule mathématique$
Donc
$Formule mathématique$
soit finalement
$Formule mathématique$ .

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