Cinématique (1)

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==Accélération==
De la même manière, on peut définir l'accélération moyenne entre les instants <math>t</math> et <math>t'</math> par 
<math>\vec{A}_{moy}(t,t')=\frac{\vec{V}(t')-\vec{V}(t)}{t'-t}</math>
(variation de vitesse par unité de temps)
et l'accélération réelle (mesurée dans le référentiel considéré !) par
<math>\vec{A}(t)=\lim_{t'\to t}\frac{\vec{V}(t')-\vec{V}(t)}{t'-t}=\frac{d \vec{V}}{dt}</math>
Ainsi, le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse, et si ses coordonnées sont notées <math>A_x,A_y,A_z</math>, on aura
<math>A_x=\frac{dV_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}</math>
<math>A_y=\frac{dV_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}</math>
<math>A_z=\frac{dV_z}{dt}=\frac{d^2z}{dt^2}</math>
(<math>\frac{d^2x}{dt^2}</math> désigne la dérivée seconde de <math>x(t)</math> par rapport au temps)
On note aussi
<math>A_x=\ddot x</math>
<math>A_y=\ddot y</math>
<math>A_z=\ddot z</math>

''Exemple''
Soit un mouvement plan d'équations horaires
<math>\left{\begin{array}{c} x=\alpha t^2+v_1 t +2 \\ y=v_2 t+4 \end{array}\right</math>
Son vecteur vitesse a pour coordonnées
<math>\left{\begin{array}{c} \dot x=2\alpha t+v_1 \\ \dot y=v_2 \end{array}\right</math>
et son accélération a pour coordonnées
<math>\left{\begin{array}{c} \ddot x=2\alpha \\ \ddot y=0 \end{array}\right</math>

__Détermination d'un mouvement connaissant les accélérations et les conditions initiales de position et de vitesse__
Nous verrons que la connaissance des accélérations équivaut à la connaissance des forces appliquées sur le mobile (à cause de la loi fondamentale de la dynamique, <math>\vec{F}=\frac{d\vec{P}}{dt}=m\vec{A}</math>, où <math>\vec{P}=m\vec{V}</math> est l'impulsion (ou ''quantité de mouvement'') du mobile, et <math>\vec{A}</math> est l'accélération du mobile dans le référentiel.
Si l'on connaît l'accélération, c'est-à-dire 3 fonctions du temps
<math>\ddot x=a_x(t)</math>
<math>\ddot y=a_y(t)</math>
<math>\ddot z=a_z(t)</math>
et si l'on connaît, mettons <math>v_x(0), v_y(0), v_z(0), x(0),y(0)</math> et <math>z(0)</math>, vitesse et position du mobile à l'instant initial (ici 0), alors
<math>v_x(t)=\int_0^ta_x(t')dt'+v_x(0)</math>
(ou, ce qui revient au même, <math>v_x(t)</math> est une primitive par rapport au temps de <math>a_x(t)</math> prenant la valeur v_x(0) en <math>t=0</math>)
On peut remonter à la position en écrivant
<math>x(t)=\int_0^t v_x(t')dt'+x(0)</math>
(ou, ce qui revient au même, <math>x(t)</math> est une primitive par rapport au temps de <math>v_x(t)</math> prenant la valeur x(0) à <math>t=0</math>)
Idem pour les autres coordonnées selon <math>x</math> ou <math>y</math>.
''Exemple''
Soit un mouvement plan dont l'accélération est définie par
<math>\left{\begin{array}{c} \ddot x=2-\cos (50t) \\ \ddot y=1-\sin(50t) \\ \ddot z=-1 \end{array}\right</math>
et dont la position à l'instant 0 est <math>x_0=10,y_0=0,z_0=4</math>, et la vitesse à l'instant 0 est 
<math>v_{x,0}=20</math>, <math>v_{y,0}=10</math>, <math>v_{z,0}=0</math>.
Trouver sa vitesse et sa position en fonction du temps.
Vecteur vitesse : on intègre les coordoonnées de l'accélération, et l'on tient compte de la vitesse initiale :
<math>v_x=2t-\frac{1}{50}\sin (50t)+C</math>, où <math>C</math> est une constante à déterminer.
En t = 0, on <math>v_x=C=20</math>. 
Donc <math>v_x</math> est entièrement déterminé : 
<math>v_x=2t-\frac{1}{50}\sin (50t)+20</math>
<math>v_y=t+\frac{1}{50}\cos (50t)+D</math> où <math>D</math> est une constante à déterminer.
En <math>t=0</math>, on a <math>v_y=10</math>, donc on a <math>\frac{1}{50}+D=10</math>, donc <math>D=9,98</math>
et <math>v_y</math> est entièrement déterminé :
<math>v_y=t+\frac{1}{50}\cos (50t)+9,98</math>
De même
<math>v_z=-t+E</math>, où <math>E</math> est une constante à déterminer.
A <math>t=0</math>, <math>v_z=0</math>, donc <math>E=0</math>.
On obtient
<math>v_z=-t</math>
Cherchons à présent les positions :
<math>x(t)=t^2+\frac{1}{2500}\cos (50t)+20t+\alpha</math>
<math>y(t)=\frac{t^2}{2}+\frac{1}{2500}\sin (50t)+9,98t+\beta</math>
<math>z(t)=-\frac{t^2}{2}+\gamma</math>
où <math>\alpha,\beta,\gamma</math> sont des constantes à déterminer.
Au vu des conditions initiales :
<math>\frac{1}{2500}+\alpha=10</math>
<math>\beta=0</math>
<math>\gamma=4</math>
d'où
<math>x=t^2+20t+\frac{1}{2500}\cos (50t)+9,9996</math>
<math>y=\frac{t^2}{2}+9,98t+\frac{1}{2500}\sin(50t)</math>
<math>z=-\frac{t^2}{2}+4</math>

Accélération

De la même manière, on peut définir l'accélération moyenne entre les instants $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ par
$Formule mathématique$
(variation de vitesse par unité de temps)
et l'accélération réelle (mesurée dans le référentiel considéré !) par
$Formule mathématique$
Ainsi, le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse, et si ses coordonnées sont notées $Formule mathématique$ , on aura
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
( $Formule mathématique$ désigne la dérivée seconde de $Formule mathématique$ par rapport au temps)
On note aussi
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Exemple
Soit un mouvement plan d'équations horaires
$Formule mathématique$
Son vecteur vitesse a pour coordonnées
$Formule mathématique$
et son accélération a pour coordonnées
$Formule mathématique$

Détermination d'un mouvement connaissant les accélérations et les conditions initiales de position et de vitesse
Nous verrons que la connaissance des accélérations équivaut à la connaissance des forces appliquées sur le mobile (à cause de la loi fondamentale de la dynamique, $Formule mathématique$ , où $Formule mathématique$ est l'impulsion (ou quantité de mouvement) du mobile, et $Formule mathématique$ est l'accélération du mobile dans le référentiel.
Si l'on connaît l'accélération, c'est-à-dire 3 fonctions du temps
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
et si l'on connaît, mettons $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , vitesse et position du mobile à l'instant initial (ici 0), alors
$Formule mathématique$
(ou, ce qui revient au même, $Formule mathématique$ est une primitive par rapport au temps de $Formule mathématique$ prenant la valeur v_x(0) en $Formule mathématique$ )
On peut remonter à la position en écrivant
$Formule mathématique$
(ou, ce qui revient au même, $Formule mathématique$ est une primitive par rapport au temps de $Formule mathématique$ prenant la valeur x(0) à $Formule mathématique$ )
Idem pour les autres coordonnées selon $Formule mathématique$ ou $Formule mathématique$ .
Exemple
Soit un mouvement plan dont l'accélération est définie par
$Formule mathématique$
et dont la position à l'instant 0 est $Formule mathématique$ , et la vitesse à l'instant 0 est
$Formule mathématique$ , $Formule mathématique$ , $Formule mathématique$ .
Trouver sa vitesse et sa position en fonction du temps.
Vecteur vitesse : on intègre les coordoonnées de l'accélération, et l'on tient compte de la vitesse initiale :
$Formule mathématique$ , où $Formule mathématique$ est une constante à déterminer.
En t = 0, on $Formule mathématique$ .
Donc $Formule mathématique$ est entièrement déterminé :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$ où $Formule mathématique$ est une constante à déterminer.
En $Formule mathématique$ , on a $Formule mathématique$ , donc on a $Formule mathématique$ , donc $Formule mathématique$
et $Formule mathématique$ est entièrement déterminé :
$Formule mathématique$
De même
$Formule mathématique$ , où $Formule mathématique$ est une constante à déterminer.
A $Formule mathématique$ , $Formule mathématique$ , donc $Formule mathématique$ .
On obtient
$Formule mathématique$
Cherchons à présent les positions :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
où $Formule mathématique$ sont des constantes à déterminer.
Au vu des conditions initiales :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
d'où
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

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