Une introduction facile mais exacte à la relativité restreinte (2)

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On appellera ''espace-temps'' l'espace réel de dimension 4 repérant les événements ponctuels dans un référentiel R donné.
Cet espace-temps est donc <math>\mathbb{R}^4</math>, ses éléments les quadruplets de réels <math>(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)</math>.
Il est par définition pourvu d'un pseudo-produit scalaire, on dira une ''métrique'' : 
Si <math>U=(x^0,x^1,x^2,x^3)</math> et <math>V=(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3)</math>, alors le produit (pseudo-)"scalaire" de <math>U</math> et <math>V</math> est  <math>U.V=x^0x'^0-x^1x'^1-x^2x'^2-x^3x'^3</math>, de manière que le carré "scalaire" de  <math>U</math> soit
<math>(U)^2=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2</math> (attention, les coordonnées sont repérés par des indices supérieurs, à ne pas confondre avec des exposants d'une élévation à une puissance !

=Quadrivecteurs=
On appelle quadrivecteur une grandeur à 4 composantes <math>(A^0,A^1,A^2,A^3)</math> qui se transforme dans un changement de référentiel <math>R\to R'</math> comme :
<math>\left[\begin{array}{c} A^0'=\gamma(A^0-\beta A^1) \\ A^1'=\gamma (A^1-\beta A^0) \\ A'2=A^2 \\ A^3=A^3 \end{array}\right</math>
L'archétype des quadrivecteurs est le vecteur donnant la position dans l'espace-temps d'un événement ponctuel : <math>(x)=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)</math>.
Bien sûr, le "carré" d'un quadrivecteur est défini par <math>(x)^2=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2</math>. Puisque le quadrivecteur se transforme selon les transformations de Lorentz, par définition, son carré est un ''invariant'', c'est-à-dire, ne change pas au cours d'un changement de référentiel : 
<math>(A^0)^2-(A^1)^2-(A^2)^2-(A^3)^2=(A^0')^2-(A^1')^2-(A^2')^2-(A^3')^2</math>.
On dit que le carré d'un quadrivecteur est un ''invariant relativiste''.
L'archétype des invariants relativiste est l'intervalle infinitésimal d'Univers : <math>\delta s=\sqrt{(\delta x^0)^2-(\delta x^1)^2-(\delta x^2)^2-(\delta x^3)^2</math> et donc l'intervalle d'Univers (macroscopique) : <math>s=\int_{(1)}^{(2)} ds</math> (on a remplacé <math>\delta s</math> "petite variation de <math>s</math> par le concept mathématique de <math>ds</math> "différentielle de s").

==Quadrivecteurs importants==
Puisque nous avons construit la transformation de Lorentz comme conservant le carré de  <math>(x)=(x^0,x^1,x^2,x^3)</math>, il conservera forcément toute variation <math>\delta x=(\delta x^0,\delta x^1,\delta x^2,\delta x^3)</math> et donc la différentielle (que nous admettrons comme représentant les "variations infinitésimales des variables") <math>(dx)=(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3)</math>.
Nous verrons que, si nous appelons <math>\tau</math> le temps propre d'un mobile, on peut définir sa vitesse propre ou quadrivitesse : <math>(u)=(u^0,u^1,u^2,u^3)=(\frac{dx^0}{d\tau},\frac{dx^1}{d\tau},\frac{dx^2}{d\tau},\frac{dx^3}{d\tau})</math>
En effet, <math>\tau</math> est invariant : <math>\tau=\tau'</math> (voir lignes suivantes).
Donc (par exemple) <math>u^0'=\frac{dx^0'}{d\tau'}=\frac{\gamma(dx^0-\beta dx^1)}{d\tau'}=\gamma\frac{dx^0-\beta dx^1}{d\tau}=\gamma(u^0-\beta u^1)</math>.

Les composantes de la quadrivitesse sont 
<math>u^0=\frac{dx^0}{d\tau}=\frac{dx^0}{dt}\frac{dt}{d\tau}=\frac{c}{\sqrt{1-\beta^2}</math>
et <math>u^i=\frac{dx^i}{d\tau}=\frac{dx^i}{dt}\frac{dt}{d\tau}=\frac{v_i}{\sqrt{1-\beta^2}</math>
On note souvent la quadrivitesse 
<math>(u^\mu)=(c\gamma,\gamma\vec{v})=(\frac{c}{\sqrt{1-\beta^2}},\frac{\vec{v}}{\sqrt{1-\beta^2}})</math>.
Par analogie avec le vecteur impulsion (appelé aussi ''quantité de mouvement'' <math>\vec{p}=m\vec{v}</math>, on définira le quadrivecteur impulsion-énergie <math>(P^\mu)=(mu^\mu)=(m\frac{dx^\mu}{d\tau})</math> <math>(\mu=0,1,2,3)</math>.
On note souvent le vecteur impulsion-énergie <math>(\frac{mc}{\sqrt{1-\beta^2}},\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\beta^2}})</math>
et on pose pour le vecteur impulsion (relativiste) d'un mobile : <math>\vec{P}=\frac{\vec{p}}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\beta^2}}</math>
Nous allons voir que l'énergie d'un tel mobile est <math>E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}}</math>, d'où 
<math>(p^\mu)=(\frac{E}{c},\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\beta^2}})</math>,
d'où l'appellation de "quadrivecteur impulsion-énergie" de ce quadrivecteur.
On remarquera d'avance (en attendant d'établir la formule définissant l'énergie en Mécanique relativiste), qu'au repos, un corps de masse <math>m</math> possède une énergie <math>E=mc^2</math>.
C'est la célèbre formule d'Einstein établissant l'équivalence entre la matière et l'énergie. 
Si l'on transforme 1 gramme de matière (<math>10^{-3}</math> kg) en énergie, elle montre qu'on obtient une quantité titanesque d'énergie : <math>E=10^{-3}(3.10^8)^2=9.10^{13}</math> Joules (90 000 milliards de Joules). ==Invariants relativistes==
Toute grandeur <math>W</math> telle que dans un changement de référentiel <math>R\to R'</math>, on ait <math>W=W'</math> est appelée ''invariant relativiste'' (ou invariant tout court).
Nous avons vu que <math>(x)^2=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2=inv</math> et <math>(ds)^2=(dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2=inv</math>
Montrons que le temps propre <math>\tau</math> d'un mobile est aussi un invariant relativiste :
Si <math>t</math> est une mesure du temps d'un mobile donné dans un référentiel R, et si <math>t'</math> est la mesure du temps du même mobile dans R', alors 
<math>\tau=t\sqrt{1-\beta^2}=\frac{s}{c}</math>.
et l'on a vu que <math>s</math> est un invariant relativiste.
Ainsi donc, le temps propre d'un mobile est un invariant relativiste.
Chaque fois qu'on a un quadrivecteur <math>(A^\mu)</math>, par construction on a un invariant relativiste <math>(A)^2=(A^0)^2-(A^1)^2-(A^2)^2-(A^3)^2</math>
Ainsi, la quadrivitesse nous donne l'invariant relativiste
<math>(u)^2=\frac{c^2}{1-\beta^2}-\frac{\vec{v}^2}{1-\beta^2}=c^2</math>
et le quadrivecteur impulsion-énergie nous donne l'invariant (tous calculs faits)
<math>(P)^2=\frac{E^2}{c^2}-\vec{P}^2=m^2c^2</math>
Ce qu'on retiendra sous la forme
<math>E^2=P^2c^2+m^2c^4</math>

On appellera espace-temps l'espace réel de dimension 4 repérant les événements ponctuels dans un référentiel R donné.
Cet espace-temps est donc $Formule mathématique$ , ses éléments les quadruplets de réels $Formule mathématique$ .
Il est par définition pourvu d'un pseudo-produit scalaire, on dira une métrique :
Si $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ , alors le produit (pseudo-)"scalaire" de $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ , de manière que le carré "scalaire" de $Formule mathématique$ soit
$Formule mathématique$ (attention, les coordonnées sont repérés par des indices supérieurs, à ne pas confondre avec des exposants d'une élévation à une puissance !

Quadrivecteurs

On appelle quadrivecteur une grandeur à 4 composantes $Formule mathématique$ qui se transforme dans un changement de référentiel $Formule mathématique$ comme :
$Formule mathématique$
L'archétype des quadrivecteurs est le vecteur donnant la position dans l'espace-temps d'un événement ponctuel : $Formule mathématique$ .
Bien sûr, le "carré" d'un quadrivecteur est défini par $Formule mathématique$ . Puisque le quadrivecteur se transforme selon les transformations de Lorentz, par définition, son carré est un invariant, c'est-à-dire, ne change pas au cours d'un changement de référentiel :
$Formule mathématique$ .
On dit que le carré d'un quadrivecteur est un invariant relativiste.
L'archétype des invariants relativiste est l'intervalle infinitésimal d'Univers : $Formule mathématique$ et donc l'intervalle d'Univers (macroscopique) : $Formule mathématique$ (on a remplacé $Formule mathématique$ "petite variation de $Formule mathématique$ par le concept mathématique de $Formule mathématique$ "différentielle de s").

Quadrivecteurs importants

Puisque nous avons construit la transformation de Lorentz comme conservant le carré de $Formule mathématique$ , il conservera forcément toute variation $Formule mathématique$ et donc la différentielle (que nous admettrons comme représentant les "variations infinitésimales des variables") $Formule mathématique$ .
Nous verrons que, si nous appelons $Formule mathématique$ le temps propre d'un mobile, on peut définir sa vitesse propre ou quadrivitesse : $Formule mathématique$
En effet, $Formule mathématique$ est invariant : $Formule mathématique$ (voir lignes suivantes).
Donc (par exemple) $Formule mathématique$ .

Les composantes de la quadrivitesse sont
$Formule mathématique$
et $Formule mathématique$
On note souvent la quadrivitesse
$Formule mathématique$ .
Par analogie avec le vecteur impulsion (appelé aussi quantité de mouvement $Formule mathématique$ , on définira le quadrivecteur impulsion-énergie $Formule mathématique$ $Formule mathématique$ .
On note souvent le vecteur impulsion-énergie $Formule mathématique$
et on pose pour le vecteur impulsion (relativiste) d'un mobile : $Formule mathématique$
Nous allons voir que l'énergie d'un tel mobile est $Formule mathématique$ , d'où
$Formule mathématique$ ,
d'où l'appellation de "quadrivecteur impulsion-énergie" de ce quadrivecteur.
On remarquera d'avance (en attendant d'établir la formule définissant l'énergie en Mécanique relativiste), qu'au repos, un corps de masse $Formule mathématique$ possède une énergie $Formule mathématique$ .
C'est la célèbre formule d'Einstein établissant l'équivalence entre la matière et l'énergie.
Si l'on transforme 1 gramme de matière ( $Formule mathématique$ kg) en énergie, elle montre qu'on obtient une quantité titanesque d'énergie : $Formule mathématique$ Joules (90 000 milliards de Joules).

Invariants relativistes

Toute grandeur $Formule mathématique$ telle que dans un changement de référentiel $Formule mathématique$ , on ait $Formule mathématique$ est appelée invariant relativiste (ou invariant tout court).
Nous avons vu que $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$
Montrons que le temps propre $Formule mathématique$ d'un mobile est aussi un invariant relativiste :
Si $Formule mathématique$ est une mesure du temps d'un mobile donné dans un référentiel R, et si $Formule mathématique$ est la mesure du temps du même mobile dans R', alors
$Formule mathématique$ .
et l'on a vu que $Formule mathématique$ est un invariant relativiste.
Ainsi donc, le temps propre d'un mobile est un invariant relativiste.
Chaque fois qu'on a un quadrivecteur $Formule mathématique$ , par construction on a un invariant relativiste $Formule mathématique$
Ainsi, la quadrivitesse nous donne l'invariant relativiste
$Formule mathématique$
et le quadrivecteur impulsion-énergie nous donne l'invariant (tous calculs faits)
$Formule mathématique$
Ce qu'on retiendra sous la forme
$Formule mathématique$

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