Cinématique (2)

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===Exemple===
Considérons le mouvement hélicoïdal défini par ses équations horaires 
<math>\vec{r}=\vec{OM}\left{\begin{array}{c} x=R\cos(\omega t) \ y=R\sin(\omega t) \ z=ut \end{array}\right</math>
Sa vitesse est donnée par
<math>\vec{v}\left{\begin{array}{c} \dot{x}=-R\omega\sin(\omega t) \ \dot{y}=R\omega\cos(\omega t) \ \dot{z}=u \end{array}\right</math>
Ici le vecteur unitaire <math>\vec{\tau}(t)</math> est défini par
 <math>\vec{\tau}(t)=\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v}</math> 
(ce qu'on peut écrire sans ambiguïté, parce que le mobile "tourne" toujours dans le même sens autour de l'axe <math>Oz</math>), et 
<math>||\vec{v}||=\sqrt{R^2 \omega^2 +u^2}=Cte</math>
Ecrivons l'accélération :
<math>\vec{a}(t)\left{\begin{array}{c} -R\omega^2 \cos(\omega t) \ -R\omega^2 \sin(\omega t) \ 0 \end{array}\right</math>
C'est une accélération "centripète", bien qu'il n'y ait pas de centre fixe vers lequel pointe ce vecteur accélération. En fait, il pointe vers l'axe <math>Oz</math> et est orthogonal à cet axe. On a 
<math>\vec{n}(t)=\left(\begin{array}{c} -\cos(\omega t) \ -\sin(\omega t) \ 0 \end{array}\right)</math>
 et bien sûr, <math>\vec{a}(t)=\frac{v^2}{R(t)}\vec{n}(t)</math>, où <math>R(\t)</math> est le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant <math>t</math> : et <math>R\neq R(t)</math>, puisque
<math>||\vec{a}||=\frac{v^2}{R(t)}=R\omega^2</math>
et 
<math>v^2=R^2\omega^2+u^2</math>
d'où, ici 
<math>R(t)=R+\frac{u^2}{R\omega^2}=Cte</math>
C'est "assez" intuitif, car si l'on imagine que la vitesse angulaire <math>\omega</math> est assez petite, et la vitesse "ascensionnelle" <math>u</math> très grande, la trajectoire se rapprocherait de la ligne droite 
(<math>R(t)\to+\infty</math>)

Exemple

Considérons le mouvement hélicoïdal défini par ses équations horaires
$Formule mathématique$
Sa vitesse est donnée par
$Formule mathématique$
Ici le vecteur unitaire $Formule mathématique$ est défini par
$Formule mathématique$
(ce qu'on peut écrire sans ambiguïté, parce que le mobile "tourne" toujours dans le même sens autour de l'axe $Formule mathématique$ ), et
$Formule mathématique$
Ecrivons l'accélération :
$Formule mathématique$
C'est une accélération "centripète", bien qu'il n'y ait pas de centre fixe vers lequel pointe ce vecteur accélération. En fait, il pointe vers l'axe $Formule mathématique$ et est orthogonal à cet axe. On a
$Formule mathématique$
et bien sûr, $Formule mathématique$ , où $Formule mathématique$ est le rayon de courbure de la trajectoire à l'instant $Formule mathématique$ : et $Formule mathématique$ , puisque
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$
d'où, ici
$Formule mathématique$
C'est "assez" intuitif, car si l'on imagine que la vitesse angulaire $Formule mathématique$ est assez petite, et la vitesse "ascensionnelle" $Formule mathématique$ très grande, la trajectoire se rapprocherait de la ligne droite
( $Formule mathématique$ )

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