Logique élémentaire (binaire, naïve)

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=Propositions et propriétés sur un ensemble=
  ==Propositions==
Une proposition est une affirmation __qui a un sens__.
"''qui a un sens''" signifie précisément : "''dont on peut dire sans ambiguïté si c'est vrai ou faux''".
Ainsi, "Il fait beau en ce moment" est une proposition : on peut voir si c'est vrai ou faux en regardant le ciel, sans autre problème.
"2 est plus grand que 3" est une proposition, clairement fausse.
Par contre, "je mens" ''n'est pas'' une proposition : 
- si je fais l'hypothèse qu'elle est vraie, elle affirme justement que la personne qui parle est en train de mentir, et donc je dois en déduire qu'elle est fausse ;
- si par contre, je suppose qu'elle est fausse, alors la personne ne ment pas, et elle dit la vérité, aussi, je dois en déduire qu'elle est vraie.
__On posera axiomatiquement les principes :__
===Principe de non-contradiction===
Une proposition ne peut à la fois être vraie et fausse.
   ===Principe du tiers exclu===

Une proposition ne peut avoir d'autre "valeur de vérité" que  "V" (vrai) ou "F" (faux).

==Propriétés sur un ensemble==
     ===Un peu de vocabulaire : les ensembles===
On appelle ''__ensemble__'' toute collection d'objets, réels ou imaginaires.
Par exemple, l'ensemble <math>L</math> des livres que je possède ; l'ensemble <math>V_{AtomeKid}^s</math> des voitures de sport de ma collection privée (je n'en ai encore aucune, mais peut-être un jour...) que nous appellerons ''__ensemble vide__''  <math>\emptyset</math> ; l'ensemble <math>\mathbb{N}</math> des entiers naturels (il y en a une infinité : 0, 1, 2, ..., 2008, ... 1 000 000, ...), etc.
Les objets contenus dans ces collections seront appelés ''__éléments__'' des ensembles, ou objets ''__appartenant__'' à ces ensembles.
Si l'on connaît la liste des éléments d'un ensemble <math>A</math>, on peut écrire selon la syntaxe :
<math>C=\left{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right}</math> (pour dire que <math>C</math> est l'ensemble des chiffres)
Sinon, on peut écrire une description déterminant sans ambiguïté les éléments de l'ensemble :
<math>\mathbb{N}</math> = {entiers naturels}  ou = {0,1,2,....}  pour suggérer que la liste s'allonge indéfiniment.
On peut aussi écrire
<math>C=\left{x\in\mathbb{N}/0\leq x \leq 9\right}</math> (lire : ''l'ensemble des chiffres est l'ensemble des entiers naturels <math>x</math>  tels que  <math>x</math> est compris entre 0 et 9'').
On notera par exemple
<math>134 000 \in \mathbb{N}</math> pour dire que 134 000 est un élément de l'ensemble <math>\mathbb{N}</math> des entiers naturels, ou appartient à l'ensemble <math>\mathbb{N}</math>.
et 
<math>Porsche911 \notin V_{AtomeKid}^s</math> 
pour dire que la Porsche 911 n'appartient pas à ma collection de voitures de sport...(<math>\in</math> se lit "__appartient à__ " ou "__élément de__", et <math>\notin</math> se lit "__n'appartient pas à__" ou "__n'est pas élément de__")
En général, on se donne toujours un ensemble <math>E</math> contenant tout ce dont j'ai besoin pour un propos déterminé, ensemble qu'on appellera ''__univers__''.
Par exemple, si je me propose de calculer le nombre de chaussettes que je puis m'acheter, je choisirai a priori <math>E=\mathbb{N}</math>, car ce nombre est forcément entier naturel.
Si je fais de la géométrie élémentaire et raisonne sur les angles d'un triangle, je puis me contenter de poser <math>E=[0^\circ;180^\circ]</math>, etc.
Si je considère d'autres ensembles, ce ne peut être que des ensembles contenus dans cet univers <math>E</math>, c'est-à-dire des ensembles dont tous les éléments sont pris parmi les éléments de <math>E</math>.
On dit qu'un ensemble <math>A</math> est ''__inclus__'' dans <math>E</math>, et l'on écrit <math>A\subset E</math> si tous les éléments de <math>A</math> sont éléments de <math>E</math>. 
(<math>\subset</math> se lit : "__est inclus dans__", ou "__est une partie de__")
Si <math>A\subset E</math>, le ''__complémentaire__'' de <math>A</math> dans <math>E</math> est l'ensemble des éléments de <math>E</math> qui n'appartienent pas à <math>A</math>, on le note de plusieurs façons : <math>^c A,\, E\setminus A,\, C_{E}A</math>, parfois <math>\bar{A}</math> s'il n'y a pas ambiguïté.
Attention, on lit <math>^c A</math> : ''complémentaire'' de A,
<math>E\setminus A</math> : ''E moins A'',
<math>C_{E}A</math> : ''complémentaire de <math>A</math> dans <math>E</math>''.
Exemple, si <math>P</math> est l'ensemble des entiers pairs, son complémentaire dans <math>\mathbb{N}</math> est <math>I=\mathbb{N}\setminus P</math>, l'ensemble des entiers impairs.
Comme on peut dire que <math>E\subset E</math>, on peut définir <math>E\setminus E=\emptyset</math> et (nous verrons que <math>\emptyset\subset E</math>) : <math>E\setminus \emptyset=E</math>, ou si l'on préfère :
<math>^cE=\emptyset,\,\,^c\emptyset=E</math>
<math>A</math> et <math>B</math> étant deux ensembles quelconques inclus dans l'univers, on peut définir plus généralement
<math>A\setminus B</math> comme ensemble des éléments de <math>A</math> qui n'appartiennent pas à <math>B</math>, et
<math>B\setminus A</math> comme ensemble des éléments de <math>B</math> qui n'appartiennent pas à <math>A</math>.
On a donc :
<math>^cA=E\setminus A=\left{x\in E/x\notin A\right}</math> (lire : ''<math>^cA</math> est l'ensemble des éléments <math>x</math> de <math>E</math> tels que <math>x</math> n'appartient pas à <math>A</math>'')
<math>A\setminus B=\left{x\in A/x\notin B\right}</math> (lire : ''<math>A</math> moins <math>B</math> est l'ensemble des éléments <math>x</math> de <math>A</math> tels que <math>x</math> n'appartient pas à <math>B</math>'')
Soient deux ensembles <math>A</math>  et <math>B</math> dans l'univers. On définit leur ''__réunion__'' <math>A\cup B</math> comme l'ensemble des éléments appartenant à au moins l'un des deux :
<math>A\cup B=\left{x\in E/x\in A\,\ ou\, x\in B\right}</math> (lire : ''<math>A</math> union <math>B</math> est l'ensemble des éléments <math>x</math> de <math>E</math> tels que <math>x</math> appartient à <math>A</math> ou à <math>B</math>'' ; attention, le "ou" ici n'est pas exclusif, et ne signifie pas "ou bien... ou bien", mais "au moins à l'un des deux")
On définit ausi leur ''__intersection__'' <math>A\cap B</math> comme l'ensemble des éléments appartenant à la fois à l'un et à l'autre :
<math>A\cap B=\left{x\in E/x\in A\,\ et\,x\in B\right}</math> (lire : ''<math>A</math> inter<math>B</math> est l'ensemble des éléments <math>x</math> de <math>E</math> tels que <math>x</math> appartient à <math>A</math> et à <math>B</math>'')
On appelle ''application'' d'un ensemble <math>A</math> sur un ensemble <math>B</math> l'objet mathématique <math>f</math> qui à tout élément <math>x\in A</math> fait correspondre un et un seul élément <math>y\in B</math> noté <math>f(x)</math>.
On note ceci <math>f:A\rightarrow B</math> pour dire que <math>f</math> prend des éléments  de <math>A</math> pour les faire correspondre à des éléments de <math>B</math> (on dit que <math>A</math>  est l' ''ensemble de départ'' ou ''source'' de l'application <math>f</math> et que <math>B</math>  est l' ''ensemble d'arrivée'' ou ''but'' de <math>f</math>.
On note aussi <math>f:x\mapsto f(x)</math> la correspondance réalisée par <math>f</math> entre éléments de <math>A</math> et <math>B</math>.

==Propriétés sur un ensemble==
Soit <math>E</math> un ensemble. Si <math>x</math> est un élément quelconque de <math>E</math>, et <math>P(x)</math> une proposition pour tout <math>x</math> fixé, alors on dit que <math>P(x)</math> est une ''propriété définie sur <math>E</math>''.
On peut définir ceci en disant que <math>P</math> est une application de <math>E</math> sur l'ensemble <math>\left{V,F\right}</math>, parce que l'on connaît tout sur <math>P</math> si l'on a la liste complète des éléments <math>x</math> de <math>E</math> pour lesquels <math>P(x)</math>  est vraie, ou fausse (on a noté <math>V</math> pour "vraie" et <math>F</math> pour "fausse").

Exemples : la propriété <math>P(x)</math> : "<math>x</math>  est un nombre pair".
Il est clair que <math>P</math> est l'application <math>P:\mathbb{N}\rightarrow\left{V,F\right}</math> telle que
<math>P:\left{\begin{array}{c} 0\mapsto V \\ 1\mapsto F \\ 2\mapsto V \\ 3\mapsto F \\ ... \\ 2n\mapsto V \\ 2n+1\mapsto F \end{array}\right</math>

=== Partie de l'univers associée à une propriété définie sur cet univers ===
A toute propriété <math>P(x)</math>, associons l'ensemble <math>P</math> des éléments <math>x</math> de <math>E</math> tels que la proposition <math>P(x)</math> est vraie.
Ainsi, à la propriété <math>P(x)</math> : "x est pair",  définie sur <math>\mathbb{N}</math>, on associe l'ensemble <math>P=\left{0,2,4,...,2n,...\right}</math> des nombres pairs.

===Négation d'une propriété définie sur E===
Soit <math>P(x)</math> une propriété définie sur un ensemble <math>E</math> (qu'on appellera donc univers).
On dit qu'une propriété <math>Q(x)</math> définie sur le même ensemble est ''une négation'' de <math>P(x)</math> si pour tout <math>x</math>, lorsque <math>P(x)</math> est vraie, <math>Q(x)</math> est fausse, et lorsque <math>P(x)</math> est fausse, <math>Q(x)</math> est vraie :

||! P(x) ||! Q(x)
|| V || F
|| F || V

Ainsi, ''une'' négation de la propriété ''"x est pair"'' est ''"x est impair" '', une autre négation est  ''"x n'est pas pair" '', ou ''"il est faux d'affirmer que x est pair"''...

Si <math>Q</math> est une négation de <math>P</math>, on écrit :
<math>Q\Leftrightarrow non(P)</math> 
[Nous préciserons plus loin la signification de la notation <math>\Leftrightarrow</math> (équivalence logique); disons ici qu'elle signifie que les propriétés ont toujours la même valeur de vérité]

Résultat élémentaire, mais à remarquer : une négation de <math>x>20</math> est <math>x\leq 20</math>, et dans l'autre sens, une négation de <math>x\geq 10</math> est <math>x<10</math> ; en effet, regardons le tableau :

||! x ||! 0 ||! 1 ||! 2 ||!...||! 9 ||! 10 ||! 11 ||! 12 ||...
|| x<math>\leq</math>10 || V || V || V || ... || V || V || F || F ||...
|| x > 10 || F || F || F || ... || F || F || V || V || ...
Autre moyen de voir ce résultat :
''Négation de "x est plus petit que 20" : "x n'est pas plus petit que 20", soit "x est plus grand ou égal à 20".''
On se rappellera qu'une négation d'une inégalité stricte est une inégalité large, et une négation d'une inégalité large est une inégalité stricte.
    ===Négation d'une propriété et ensemble associé===
Si une propriété <math>P(x)</math> est associée à l'ensemble <math>P</math> inclus dans <math>E</math>, alors une négation <math>Q(x)</math> est associée à son complémentaire <math>^cP</math>.
Par exemple, la propriété <math>P(x)</math> : "x est pair" est associée à l'ensemble <math>P=\left{0,2,4,...,2n,...\right}</math>
Une négation est <math>Q(x)</math>:"x est impair" et elle est associée à <math>^cP=\left{1,3,5,...,2n+1,...\right}</math>.
 ===Théorème 1 (première forme)===
On peut exprimer la définition de la négation par la "table de vérité" :
||! P ||! non(P)
|| V || F
|| F || V
On en tire immédiatement (par simple lecture !) le théorème :
__Si <math>P</math> est une négation de <math>Q</math>, alors <math>Q</math> est une négation de <math>P</math>__.
Ce théorème s'exprime aussi par 
__Si <math>P\Leftrightarrow non(Q)</math>, alors <math>Q\Leftrightarrow non(P)</math>__ 
===Théorème 1 (deuxième forme===
Nions deux fois de suite une propriété <math>P</math> sur un ensemble :
||! P ||! non(P) ||! non(non(P))
|| V || F || V
|| F || V || F
Le simple examen des colonnes de la table de vérité donne l'énoncé du théorème :
__Une négation d'une négation d'une propriété <math>P</math> est équivalente à <math>P</math>__
Autrement dit :
<math>non(non(P))\Leftrightarrow P</math>

Sommaire

1 Propositions et propriétés sur un ensemble
1.1 Propositions
1.1.1 Principe de non-contradiction
1.1.2 Principe du tiers exclu
1.2 Propriétés sur un ensemble
1.2.1 Un peu de vocabulaire : les ensembles
1.3 Propriétés sur un ensemble
1.3.1 Partie de l'univers associée à une propriété définie sur cet univers
1.3.2 Négation d'une propriété définie sur E
1.3.3 Négation d'une propriété et ensemble associé
1.3.4 Théorème 1 (première forme)
1.3.5 Théorème 1 (deuxième forme

Propositions et propriétés sur un ensemble

Propositions

Une proposition est une affirmation qui a un sens.
"qui a un sens" signifie précisément : "dont on peut dire sans ambiguïté si c'est vrai ou faux".
Ainsi, "Il fait beau en ce moment" est une proposition : on peut voir si c'est vrai ou faux en regardant le ciel, sans autre problème.
"2 est plus grand que 3" est une proposition, clairement fausse.
Par contre, "je mens" n'est pas une proposition :
- si je fais l'hypothèse qu'elle est vraie, elle affirme justement que la personne qui parle est en train de mentir, et donc je dois en déduire qu'elle est fausse ;
- si par contre, je suppose qu'elle est fausse, alors la personne ne ment pas, et elle dit la vérité, aussi, je dois en déduire qu'elle est vraie.
On posera axiomatiquement les principes :

Principe de non-contradiction

Une proposition ne peut à la fois être vraie et fausse.

Principe du tiers exclu

Une proposition ne peut avoir d'autre "valeur de vérité" que "V" (vrai) ou "F" (faux).

Propriétés sur un ensemble

Un peu de vocabulaire : les ensembles

On appelle ensemble toute collection d'objets, réels ou imaginaires.
Par exemple, l'ensemble $Formule mathématique$ des livres que je possède ; l'ensemble $Formule mathématique$ des voitures de sport de ma collection privée (je n'en ai encore aucune, mais peut-être un jour...) que nous appellerons ensemble vide $Formule mathématique$ ; l'ensemble $Formule mathématique$ des entiers naturels (il y en a une infinité : 0, 1, 2, ..., 2008, ... 1 000 000, ...), etc.
Les objets contenus dans ces collections seront appelés éléments des ensembles, ou objets appartenant à ces ensembles.
Si l'on connaît la liste des éléments d'un ensemble $Formule mathématique$ , on peut écrire selon la syntaxe :
$Formule mathématique$ (pour dire que $Formule mathématique$ est l'ensemble des chiffres)
Sinon, on peut écrire une description déterminant sans ambiguïté les éléments de l'ensemble :
$Formule mathématique$ = {entiers naturels} ou = {0,1,2,....} pour suggérer que la liste s'allonge indéfiniment.
On peut aussi écrire
$Formule mathématique$ (lire : l'ensemble des chiffres est l'ensemble des entiers naturels $Formule mathématique$ tels que $Formule mathématique$ est compris entre 0 et 9).
On notera par exemple
$Formule mathématique$ pour dire que 134 000 est un élément de l'ensemble $Formule mathématique$ des entiers naturels, ou appartient à l'ensemble $Formule mathématique$ .
et
$Formule mathématique$
pour dire que la Porsche 911 n'appartient pas à ma collection de voitures de sport...( $Formule mathématique$ se lit "appartient à " ou "élément de", et $Formule mathématique$ se lit "n'appartient pas à" ou "n'est pas élément de")
En général, on se donne toujours un ensemble $Formule mathématique$ contenant tout ce dont j'ai besoin pour un propos déterminé, ensemble qu'on appellera univers.
Par exemple, si je me propose de calculer le nombre de chaussettes que je puis m'acheter, je choisirai a priori $Formule mathématique$ , car ce nombre est forcément entier naturel.
Si je fais de la géométrie élémentaire et raisonne sur les angles d'un triangle, je puis me contenter de poser $Formule mathématique$ , etc.
Si je considère d'autres ensembles, ce ne peut être que des ensembles contenus dans cet univers $Formule mathématique$ , c'est-à-dire des ensembles dont tous les éléments sont pris parmi les éléments de $Formule mathématique$ .
On dit qu'un ensemble $Formule mathématique$ est inclus dans $Formule mathématique$ , et l'on écrit $Formule mathématique$ si tous les éléments de $Formule mathématique$ sont éléments de $Formule mathématique$ .
( $Formule mathématique$ se lit : "est inclus dans", ou "est une partie de")
Si $Formule mathématique$ , le complémentaire de $Formule mathématique$ dans $Formule mathématique$ est l'ensemble des éléments de $Formule mathématique$ qui n'appartienent pas à $Formule mathématique$ , on le note de plusieurs façons : $Formule mathématique$ , parfois $Formule mathématique$ s'il n'y a pas ambiguïté.
Attention, on lit $Formule mathématique$ : complémentaire de A,
$Formule mathématique$ : E moins A,
$Formule mathématique$ : complémentaire de $Formule mathématique$ dans $Formule mathématique$ .
Exemple, si $Formule mathématique$ est l'ensemble des entiers pairs, son complémentaire dans $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ , l'ensemble des entiers impairs.
Comme on peut dire que $Formule mathématique$ , on peut définir $Formule mathématique$ et (nous verrons que $Formule mathématique$ ) : $Formule mathématique$ , ou si l'on préfère :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ étant deux ensembles quelconques inclus dans l'univers, on peut définir plus généralement
$Formule mathématique$ comme ensemble des éléments de $Formule mathématique$ qui n'appartiennent pas à $Formule mathématique$ , et
$Formule mathématique$ comme ensemble des éléments de $Formule mathématique$ qui n'appartiennent pas à $Formule mathématique$ .
On a donc :
$Formule mathématique$ (lire : $Formule mathématique$ est l'ensemble des éléments $Formule mathématique$ de $Formule mathématique$ tels que $Formule mathématique$ n'appartient pas à $Formule mathématique$ )
$Formule mathématique$ (lire : $Formule mathématique$ moins $Formule mathématique$ est l'ensemble des éléments $Formule mathématique$ de $Formule mathématique$ tels que $Formule mathématique$ n'appartient pas à $Formule mathématique$ )
Soient deux ensembles $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ dans l'univers. On définit leur réunion $Formule mathématique$ comme l'ensemble des éléments appartenant à au moins l'un des deux :
$Formule mathématique$ (lire : $Formule mathématique$ union $Formule mathématique$ est l'ensemble des éléments $Formule mathématique$ de $Formule mathématique$ tels que $Formule mathématique$ appartient à $Formule mathématique$ ou à $Formule mathématique$ ; attention, le "ou" ici n'est pas exclusif, et ne signifie pas "ou bien... ou bien", mais "au moins à l'un des deux")
On définit ausi leur intersection $Formule mathématique$ comme l'ensemble des éléments appartenant à la fois à l'un et à l'autre :
$Formule mathématique$ (lire : $Formule mathématique$ inter $Formule mathématique$ est l'ensemble des éléments $Formule mathématique$ de $Formule mathématique$ tels que $Formule mathématique$ appartient à $Formule mathématique$ et à $Formule mathématique$ )
On appelle application d'un ensemble $Formule mathématique$ sur un ensemble $Formule mathématique$ l'objet mathématique $Formule mathématique$ qui à tout élément $Formule mathématique$ fait correspondre un et un seul élément $Formule mathématique$ noté $Formule mathématique$ .
On note ceci $Formule mathématique$ pour dire que $Formule mathématique$ prend des éléments de $Formule mathématique$ pour les faire correspondre à des éléments de $Formule mathématique$ (on dit que $Formule mathématique$ est l' ensemble de départ ou source de l'application $Formule mathématique$ et que $Formule mathématique$ est l' ensemble d'arrivée ou but de $Formule mathématique$ .
On note aussi $Formule mathématique$ la correspondance réalisée par $Formule mathématique$ entre éléments de $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ .

Propriétés sur un ensemble

Soit $Formule mathématique$ un ensemble. Si $Formule mathématique$ est un élément quelconque de $Formule mathématique$ , et $Formule mathématique$ une proposition pour tout $Formule mathématique$ fixé, alors on dit que $Formule mathématique$ est une propriété définie sur $Formule mathématique$ .
On peut définir ceci en disant que $Formule mathématique$ est une application de $Formule mathématique$ sur l'ensemble $Formule mathématique$ , parce que l'on connaît tout sur $Formule mathématique$ si l'on a la liste complète des éléments $Formule mathématique$ de $Formule mathématique$ pour lesquels $Formule mathématique$ est vraie, ou fausse (on a noté $Formule mathématique$ pour "vraie" et $Formule mathématique$ pour "fausse").

Exemples : la propriété $Formule mathématique$ : " $Formule mathématique$ est un nombre pair".
Il est clair que $Formule mathématique$ est l'application $Formule mathématique$ telle que
$Formule mathématique$

Partie de l'univers associée à une propriété définie sur cet univers

A toute propriété $Formule mathématique$ , associons l'ensemble $Formule mathématique$ des éléments $Formule mathématique$ de $Formule mathématique$ tels que la proposition $Formule mathématique$ est vraie.
Ainsi, à la propriété $Formule mathématique$ : "x est pair", définie sur $Formule mathématique$ , on associe l'ensemble $Formule mathématique$ des nombres pairs.

Négation d'une propriété définie sur E

Soit $Formule mathématique$ une propriété définie sur un ensemble $Formule mathématique$ (qu'on appellera donc univers).
On dit qu'une propriété $Formule mathématique$ définie sur le même ensemble est une négation de $Formule mathématique$ si pour tout $Formule mathématique$ , lorsque $Formule mathématique$ est vraie, $Formule mathématique$ est fausse, et lorsque $Formule mathématique$ est fausse, $Formule mathématique$ est vraie :

P(x)	Q(x)
V	F
F	V

Ainsi, une négation de la propriété "x est pair" est "x est impair" , une autre négation est "x n'est pas pair" , ou "il est faux d'affirmer que x est pair"...

Si $Formule mathématique$ est une négation de $Formule mathématique$ , on écrit :
$Formule mathématique$
[Nous préciserons plus loin la signification de la notation $Formule mathématique$ (équivalence logique); disons ici qu'elle signifie que les propriétés ont toujours la même valeur de vérité]

Résultat élémentaire, mais à remarquer : une négation de $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ , et dans l'autre sens, une négation de $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ ; en effet, regardons le tableau :

x	0	1	2	...	9	10	11	12	...
x $Formule mathématique$ 10	V	V	V	...	V	V	F	F	...
x > 10	F	F	F	...	F	F	V	V	...

Autre moyen de voir ce résultat :
Négation de "x est plus petit que 20" : "x n'est pas plus petit que 20", soit "x est plus grand ou égal à 20".
On se rappellera qu'une négation d'une inégalité stricte est une inégalité large, et une négation d'une inégalité large est une inégalité stricte.

Négation d'une propriété et ensemble associé

Si une propriété $Formule mathématique$ est associée à l'ensemble $Formule mathématique$ inclus dans $Formule mathématique$ , alors une négation $Formule mathématique$ est associée à son complémentaire $Formule mathématique$ .
Par exemple, la propriété $Formule mathématique$ : "x est pair" est associée à l'ensemble $Formule mathématique$
Une négation est $Formule mathématique$ :"x est impair" et elle est associée à $Formule mathématique$ .

Théorème 1 (première forme)

On peut exprimer la définition de la négation par la "table de vérité" :

P	non(P)
V	F
F	V

On en tire immédiatement (par simple lecture !) le théorème :
Si $Formule mathématique$ est une négation de $Formule mathématique$ , alors $Formule mathématique$ est une négation de $Formule mathématique$ .
Ce théorème s'exprime aussi par
Si $Formule mathématique$ , alors $Formule mathématique$

Théorème 1 (deuxième forme

Nions deux fois de suite une propriété $Formule mathématique$ sur un ensemble :

P	non(P)	non(non(P))
V	F	V
F	V	F

Le simple examen des colonnes de la table de vérité donne l'énoncé du théorème :
Une négation d'une négation d'une propriété $Formule mathématique$ est équivalente à $Formule mathématique$
Autrement dit :
$Formule mathématique$

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Sommaire

Propositions et propriétés sur un ensemble

Propositions

Principe de non-contradiction

Principe du tiers exclu

Propriétés sur un ensemble

Un peu de vocabulaire : les ensembles

Propriétés sur un ensemble

Partie de l'univers associée à une propriété définie sur cet univers

Négation d'une propriété définie sur E

Négation d'une propriété et ensemble associé

Théorème 1 (première forme)

Théorème 1 (deuxième forme