Logique élémentaire (binaire, naïve)

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==Théorème 5==
__Une négation de <math>(\forall x\in E, P(x))</math> est <math>(\exists x\in E, non(P(x))</math>__
__Une négation de <math>(\exists x\in E, P(x))</math> est <math>(\forall x\in E, non(P(x))</math>__
On peut écrire 
<math>non\left[\forall x\in E, P(x)\right]\Leftrightarrow [\exists x\in E, non(P(x))]</math>
<math>non\left[\exists x\in E, P(x)\right]\Leftrightarrow [\forall x\in E, non(P(x))]</math>
''Preuve''
Démontrons la première ligne : 
<math>non [\forall x\in E, P(x)]\Leftrightarrow non(P=E)</math>
<math>\Leftrightarrow (P\subset E\,\,et\,\,P\neq E)</math>
<math>\Leftrightarrow \,^cP\neq\emptyset</math>
<math>\Leftrightarrow \exists x\in E, non(P(x))</math>
Pour démontrer la deuxième ligne, contentons-nous de poser <math>P'\Leftrightarrow non(P)</math>
Le résultat qui vient d'être démontré s'écrit
<math>non[\forall x\in E,non(P'(x))]\Leftrightarrow[\exists x\in E, P'(x)]</math>
Le théorème 1, sous sa première forme, permet d'écrire ceci :
<math>non[\exists x\in E, P'(x)]\Leftrightarrow[\forall x\in E, non(P'(x))]</math>
ce qui est exactement la deuxième ligne, que nous voulions démontrer.
''Exemple''
Une négation de "''Tous les hommes sont forts''" est "''Il existe au moins un homme qui n'est pas fort''"
Considérons la propriété <math>P(x,y)</math> :  "Pour tout réel <math>x</math>, il existe un réel <math>y</math>, tel que <math>y</math> est l'inverse de <math>x</math>"
ce qui s'écrit
<math>\forall x\in \mathbb{R}, \exists y\in \mathbb{R} / y=\frac{1}{x}</math> (''c'est une propriété fausse, bien sûr !'')
Une négation de <math>P(x,y)</math> est
<math>\exists x\in \mathbb{R},non(\exists y\in \mathbb{R} / y = \frac{1}{x})</math>
<math>\Leftrightarrow \exists x\in \mathbb{R},\forall y\in \mathbb{R} / y\neq \frac{1}{x}</math> (''c'est vrai, évidemment, car cet <math>x</math> existe : c'est 0'')
''Cet exemple se généralise aisément à ''
<math>non[\exists x\in E, \forall y\in F, \forall z\in G, \exists t\in H,P(x,y,z,t)]\Leftrightarrow [\forall x\in E, \exists y\in F, \exists z\in G,\forall t\in H, non(P(x,y,z,t))]</math> : il suffit de remplacer  <math>\forall</math> par  <math>\,\exists</math> et réciproquement, et de remplacer <math>P(x,y,z,t)</math> à la fin par une négation <math>non[P(x,y,z,t)]</math>.

Théorème 5

Une négation de $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$
Une négation de $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$
On peut écrire
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Preuve
Démontrons la première ligne :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Pour démontrer la deuxième ligne, contentons-nous de poser $Formule mathématique$
Le résultat qui vient d'être démontré s'écrit
$Formule mathématique$
Le théorème 1, sous sa première forme, permet d'écrire ceci :
$Formule mathématique$
ce qui est exactement la deuxième ligne, que nous voulions démontrer.
Exemple
Une négation de "Tous les hommes sont forts" est "Il existe au moins un homme qui n'est pas fort"
Considérons la propriété $Formule mathématique$ : "Pour tout réel $Formule mathématique$ , il existe un réel $Formule mathématique$ , tel que $Formule mathématique$ est l'inverse de $Formule mathématique$ "
ce qui s'écrit
$Formule mathématique$ (c'est une propriété fausse, bien sûr !)
Une négation de $Formule mathématique$ est
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$ (c'est vrai, évidemment, car cet $Formule mathématique$ existe : c'est 0)
Cet exemple se généralise aisément à
$Formule mathématique$ : il suffit de remplacer $Formule mathématique$ par $Formule mathématique$ et réciproquement, et de remplacer $Formule mathématique$ à la fin par une négation $Formule mathématique$ .

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Théorème 5