Logique élémentaire (binaire, naïve)

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===Négation d'une propriété définie sur E===
Soit <math>P(x)</math> une propriété définie sur un ensemble <math>E</math> (qu'on appellera donc univers).
On dit qu'une propriété <math>Q(x)</math> définie sur le même ensemble est ''une négation'' de <math>P(x)</math> si pour tout <math>x</math>, lorsque <math>P(x)</math> est vraie, <math>Q(x)</math> est fausse, et lorsque <math>P(x)</math> est fausse, <math>Q(x)</math> est vraie :

||! P(x) ||! Q(x)
|| V || F
|| F || V

Ainsi, ''une'' négation de la propriété ''"x est pair"'' est ''"x est impair" '', une autre négation est  ''"x n'est pas pair" '', ou ''"il est faux d'affirmer que x est pair"''...

Si <math>Q</math> est une négation de <math>P</math>, on écrit :
<math>Q\Leftrightarrow non(P)</math> 
[Nous préciserons plus loin la signification de la notation <math>\Leftrightarrow</math> (équivalence logique); disons ici qu'elle signifie que les propriétés ont toujours la même valeur de vérité]

Résultat élémentaire, mais à remarquer : une négation de <math>x>20</math> est <math>x\leq 20</math>, et dans l'autre sens, une négation de <math>x\geq 10</math> est <math>x<10</math> ; en effet, regardons le tableau :

||! x ||! 0 ||! 1 ||! 2 ||!...||! 9 ||! 10 ||! 11 ||! 12 ||...
|| x<math>\leq</math>10 || V || V || V || ... || V || V || F || F ||...
|| x > 10 || F || F || F || ... || F || F || V || V || ...
Autre moyen de voir ce résultat :
''Négation de "x est plus petit que 20" : "x n'est pas plus petit que 20", soit "x est plus grand ou égal à 20".''
On se rappellera qu'une négation d'une inégalité stricte est une inégalité large, et une négation d'une inégalité large est une inégalité stricte.

Négation d'une propriété définie sur E

Soit $Formule mathématique$ une propriété définie sur un ensemble $Formule mathématique$ (qu'on appellera donc univers).
On dit qu'une propriété $Formule mathématique$ définie sur le même ensemble est une négation de $Formule mathématique$ si pour tout $Formule mathématique$ , lorsque $Formule mathématique$ est vraie, $Formule mathématique$ est fausse, et lorsque $Formule mathématique$ est fausse, $Formule mathématique$ est vraie :

P(x)	Q(x)
V	F
F	V

Ainsi, une négation de la propriété "x est pair" est "x est impair" , une autre négation est "x n'est pas pair" , ou "il est faux d'affirmer que x est pair"...

Si $Formule mathématique$ est une négation de $Formule mathématique$ , on écrit :
$Formule mathématique$
[Nous préciserons plus loin la signification de la notation $Formule mathématique$ (équivalence logique); disons ici qu'elle signifie que les propriétés ont toujours la même valeur de vérité]

Résultat élémentaire, mais à remarquer : une négation de $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ , et dans l'autre sens, une négation de $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ ; en effet, regardons le tableau :

x	0	1	2	...	9	10	11	12	...
x $Formule mathématique$ 10	V	V	V	...	V	V	F	F	...
x > 10	F	F	F	...	F	F	V	V	...

Autre moyen de voir ce résultat :
Négation de "x est plus petit que 20" : "x n'est pas plus petit que 20", soit "x est plus grand ou égal à 20".
On se rappellera qu'une négation d'une inégalité stricte est une inégalité large, et une négation d'une inégalité large est une inégalité stricte.

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Négation d'une propriété définie sur E