Comment tracer des courbes à l'aide d'une calculette graphique

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=Cercle=
D'abord, un cercle du plan peut se décrire par une équation, tout comme une droite (<math>ax+by+c=0</math>), une parabole d'axe "vertical" (<math>y=ax^2+bx+c</math>) ou une hyperbole sous la forme vue en Seconde (<math>y=\frac{a}{x}</math> ou <math>y=\frac{ax+b}{cx+d}</math>).

Pour trouver une __équation cartésienne d'un cercle__, il suffit de connaître le théorème de Pythagore :
En effet, si le centre du cercle est <math>I(a;b)</math> et son rayon <math>R</math>, un point <math>M(x;y)</math> appartient à ce cercle si et seulement si <math>IM=R</math>, soit <math>IM^2=R^2</math>.
Or si l'on construit un triangle rectangle dont l'hypoténuse est [IM], et les côtés de l'angle droit parallèles aux axes de coordonnées (Ox) et (Oy) : (IH)//(Ox) et (HM)//(Oy) par exemple, alors <math>IH=|x-a|</math> et <math>HM=|y-b|</math>.
Le théorème de Pythagore donne
<math>IM^2=IH^2+HM^2</math>, soit <math>|x-a|^2+|y-b|^2=R^2</math>.
Comme le carré de la valeur absolue d'un nombre n'est autre que le carré de ce nombre, on voit que
<math>(x-a)^2+(y-b)^2=R^2</math> 
signifie que <math>M(x;y)</math> appartient au cercle de centre I et de rayon R, autrement dit, c'est ''__une équation du cercle de centre I et de rayon R__''.
Je n'ai pas dit ''l'équation'' mais ''une'' équation, car <math>2(x-a)^2+2(y-b)^2=2R^2</math> aurait tout aussi bien fait l'affaire, tout comme 
<math>(\frac{x-a}{R})^2+(\frac{y-b}{R})^2=1</math>, par exemple.

Si l'on veut tracer ce cercle avec le mode GRAPH d'une calculette graphique, il suffit d'ouvrir l'écran affichant
<math>\begin{array}{c} Y_1= \ Y_2= \ Y_3= \... \end{array}</math>
Comme la calculette veut une expression de forme <math>y=f(x)</math>, on peut tirer <math>y</math> de <math>(x-a)^2+(y-b)^2=R^2</math> :
en effet, <math>(y-b)^2=R^2-(x-a)^2</math>, soit <math>y-b=\sqrt{R^2-(x-a)^2}</math> ou <math>y-b=-\sqrt{R^2-(x-a)^2}</math>
Il suffit donc de taper sur l'écran "texte" de la calculette
<math>\begin{array}{c}Y_1=b+\sqrt(R^2-(X-a)^2) \\ Y_2=b-\sqrt(R^2-(X-a)^2) \end{array}</math>
La fonction définie en <math>Y_1</math> donne le demi-cercle supérieur (càd, se trouvant au-dessus du niveau du centre I, donc avec <math>y\geq b</math>),
et celle définie en <math>Y_2</math> donne le demi-cercle inférieur (donc avec <math>y\leq b</math>).

=Ellipses, etc.=
Le principe est le même partout. Une ellipse d'équation 
<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
peut s'exprimer par (calcul élémentaire) :
<math>y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}</math> (moitié supérieure) et
<math>y=-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}</math> (moitié inférieure)

L'hyperbole d'équation 
<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>
peut s'exprimer par
<math>y=b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}</math> et
<math>y=-b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}</math>
On n'a plus qu'à tracer les courbes représentatives des fonctions <math>x\mapsto b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}</math> et <math>x\mapsto -b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}</math>
(attention, ces fonctions sont définies sur <math>]-\infty;-a]\cup[a;+\infty[</math>)

Cercle

D'abord, un cercle du plan peut se décrire par une équation, tout comme une droite ( $Formule mathématique$ ), une parabole d'axe "vertical" ( $Formule mathématique$ ) ou une hyperbole sous la forme vue en Seconde ( $Formule mathématique$ ou $Formule mathématique$ ).

Pour trouver une équation cartésienne d'un cercle, il suffit de connaître le théorème de Pythagore :
En effet, si le centre du cercle est $Formule mathématique$ et son rayon $Formule mathématique$ , un point $Formule mathématique$ appartient à ce cercle si et seulement si $Formule mathématique$ , soit $Formule mathématique$ .
Or si l'on construit un triangle rectangle dont l'hypoténuse est [IM], et les côtés de l'angle droit parallèles aux axes de coordonnées (Ox) et (Oy) : (IH)//(Ox) et (HM)//(Oy) par exemple, alors $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ .
Le théorème de Pythagore donne
$Formule mathématique$ , soit $Formule mathématique$ .
Comme le carré de la valeur absolue d'un nombre n'est autre que le carré de ce nombre, on voit que
$Formule mathématique$
signifie que $Formule mathématique$ appartient au cercle de centre I et de rayon R, autrement dit, c'est une équation du cercle de centre I et de rayon R.
Je n'ai pas dit l'équation mais une équation, car $Formule mathématique$ aurait tout aussi bien fait l'affaire, tout comme
$Formule mathématique$ , par exemple.

Si l'on veut tracer ce cercle avec le mode GRAPH d'une calculette graphique, il suffit d'ouvrir l'écran affichant
$Formule mathématique$
Comme la calculette veut une expression de forme $Formule mathématique$ , on peut tirer $Formule mathématique$ de $Formule mathématique$ :
en effet, $Formule mathématique$ , soit $Formule mathématique$ ou $Formule mathématique$
Il suffit donc de taper sur l'écran "texte" de la calculette
$Formule mathématique$
La fonction définie en $Formule mathématique$ donne le demi-cercle supérieur (càd, se trouvant au-dessus du niveau du centre I, donc avec $Formule mathématique$ ),
et celle définie en $Formule mathématique$ donne le demi-cercle inférieur (donc avec $Formule mathématique$ ).

Ellipses, etc.

Le principe est le même partout. Une ellipse d'équation
$Formule mathématique$
peut s'exprimer par (calcul élémentaire) :
$Formule mathématique$ (moitié supérieure) et
$Formule mathématique$ (moitié inférieure)

L'hyperbole d'équation
$Formule mathématique$
peut s'exprimer par
$Formule mathématique$ et
$Formule mathématique$
On n'a plus qu'à tracer les courbes représentatives des fonctions $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$
(attention, ces fonctions sont définies sur $Formule mathématique$ )

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Ellipses, etc.