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1 Définitions 1.1 Univers et ensemble vide 1.2 Complémentaire par rapport à l'univers 1.3 Réunion de deux ensembles 1.4 Intersection de deux ensembles 1.5 Inclusion
Un ensemble est une collection quelconque d'objets, réels ou imaginaires. Ces objets sont dits éléments de l'ensemble. Si l'on peut en donner la liste, on note un ensemble par la liste de ses éléments séparés par des virgules, entre des accolades. Par exemple, l'ensemble des chiffres dans le système de numération décimal s'écrit Si l'ensemble a un nombre infini d'éléments, que l'on sait générer sans ambiguïté l'un à la suite de l'autre, on peut écrire de manière un peu analogue (par exemple ici, l'ensemble des entiers naturels) : On peut définir un ensemble si l'on sait décrire ses éléments : (lire : P est l'ensemble des entiers naturels x tels que chaque x est pair) (on conviendra que / se lit : "tel que" ou "tels que") (ensemble des entiers naturels pairs) ou, mieux, en explicitant la parité : (lire : P est l'ensemble des entiers naturels x tels qu'il existe un entier n avec x = 2n) Si est un élément de l'ensemble , on écrit (lire : " est un élément de ", ou " appartient à ") On peut aussi écrire (lire : " contient [comme élément]") Si n'est pas un élément de , on écrira (lire : " n'appartient pas à ", ou " n'est pas un élément de ").
En général, on se donne toujours un ensemble de base, appelé univers, assez grand pour contenir tous les objets qui nous intéressent. Si je veux raisonner sur le nombre de chemises que je peux m'acheter, l'univers sera . Si je veux raisonner sur les angles géométriques d'un triangle, l'univers sera (si je raisonne en radians) ou (si je raisonne en degrés). Si je veux raisonner sur le mouvement d'un objet dans un plan (ainsi, un projectile lancé dans le champ de pesanteur terrestre), l'univers décrivant les positions au cours du temps de mon objet sera . Mais si je me donne un univers, il est rare que je le "parcoure" en entier : par exemple, je ne m'achèterai jamais 235 602 chemises ! Et mon projectile, lancé à partir d'un sol horizontal, montera à une certaine altitude et retombera au sol, ne parcourant que des points avec . Il est naturel, donc, de considérer en général une partie (ou sous-ensemble) de l'univers. Comme on l'a vu en Logique, une partie de l'univers E est définie par une propriété sur E, et réciproquement, une propriété sur E peut être définie par une partie de E. Ainsi, la propriété correspond à l'ensemble , partie de composée de tous les entiers naturels pairs. L'ensemble vide est la partie vide de , on pourrait aussi dire que c'est l'ensemble associé à la propriété qui est fausse pour tout élément de , c'est-à-dire vraie pour aucun élément. On dit (en passant) que est la partie pleine de , et il est clair que est l'ensemble associé à la propriété qui est vraie pour tout élément de . L'univers est également associé au quantificateur universel , et l'ensemble vide est associé au quantificateur existentiel , par les définitions
On a vu que si à la propriété correspond la partie de , alors à une négation correspond son complémentaire dans , soit . On retiendra : si , alors
On se donne deux ensembles , parties de l'univers . La réunion de est l'ensemble des objets appartenant à au moins l'un des deux ensembles : (lire : union est l'ensemble des éléments de l'univers, qui appartiennent à ou à ") On rappelle qu'en Logique, "ou" ne veut pas dire "ou bien...ou bien", mais "au moins l'un des deux est vrai".
On se donne deux ensembles , parties de l'univers . L'intersection de et est l'ensemble des objets appartenant à la fois à l'un et l'autre des ensembles : (lire : " inter est l'ensemble des éléments de l'univers, qui appartiennent à et à ").
Tous les ensembles considérés sont des parties de l'univers : on dit aussi qu'ils sont inclus dans , et l'on écrit Soient deux parties de , et . Si tout élément de est un élément de , on dira que est inclus dans et l'on écrira . En termes de Logique, ceci peut se définir suivant (sous-entendu avec ) ou encore (sous-entendu avec )
