Réfraction de la lumière et principe de Huygens

Vous apprêter à modifier un cours, merci de respecter certaines règles.
-Respecter la politique Daskoo: Expliquer simplement, clairement... Compréhensible par tous !
- Insérer des images présente sur le serveur.
- Ne pas insérer du texte provenant d'un autre site/article, sans l'accord du/des auteurs.

Titre & matière du cours <<<

Titre du cours:

Branche/Matière:

Aide à la validation <<<

Rapide descriptif de la modification: ( Très important pour les validateurs )

Texte <<<

	Ajouter une image
	Tous les smileys

Nous allons vérifier que l'observation du phénomène de réfraction de la lumière d'une part et sa conséquence, la loi de Descartes pour la réfraction, et d'autre part les mesures de la vitesse de la lumière dans divers milieux transparents et le vide, s'expliquent bien par le principe d'Huygens, qui énonce
__"Le trajet suivi par la lumière pour se propager d'un point <math>A</math> de l'espace à un autre point, <math>B</math>, est celui qui correspond au temps de parcours minimal".__
=Phénomène de réfraction de la lumière=
On remarque qu'un rayon de lumière entrant dans l'eau change de direction : il se propage en ligne droite dans l'air et dans l'eau, mais subit un changement net de direction en passant d'un milieu transparent à l'autre : on dit qu'il est réfracté.
Si l'on fait quelques mesures d'angles, en posant <math>i</math> l'angle d'incidence, c'est-à-dire l'angle du rayon entrant avec la normale à la surface de l'eau, et <math>r</math> l'angle de réfraction, c'est-à-dire l'angle du rayon réfracté avec la même normale à la surface de l'eau, on observe que
<math>\frac{\sin i}{\sin r}=Cte=n</math>.
D'autre part, si l'on mesure la vitesse de la lumière dans le vide, on trouve une valeur <math>c</math> de l'ordre de <math>3.10^8\,m.s^{-1}</math>. Dans l'air, la vitesse de la lumière est quasiment celle dans le vide.
Mais dans l'eau, on trouvera une valeur <math>v</math> telle que <math>n=\frac{c}{v}</math> très précisément.
Ainsi, le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction n'est autre que le rapport des vitesses de la lumière dans l'air et dans l'eau.
    =Le principe d'Huygens=
Voyons si l'hypothèse de ce principe fonctionne : la lumière se propage en ligne droite dans l'air comme dans l'eau, à cause de l'homogénéité et de l'isotropie de ces deux milieux.
Considérons un point <math>A</math> situé dans l'air, et un point <math>B</math> situé dans l'eau, et voyons comment la lumière pourrait aller de <math>A</math> à <math>B</math> en un temps minimum.
Ramenons le problème à deux dimensions : <math>A</math> et <math>B</math> appartenant à un plan perpendiculaire à la surface de l'eau. Nous schématiserons la surface de l'eau comme axe des <math>x</math> dans la figure ci-après :
((réfraction 1|trajet du rayon réfracté))

Nous poserons pour les coordonnées des points de départ et d'arrivée : <math>A(p;q)\,et\,B(r;s)</math>
On cherche un point <math>M(x;0)</math> (sur l'axe des x, donc) tel que le trajet soit le plus court possible en temps écoulé.
La lumière se propage à la vitesse <math>c</math> dans l'air et <math>v</math> dans l'eau, avec <math>c=nv</math>.
Le temps de parcours de la lumière dépend bien sûr de <math>x</math>, abscisse de <math>M</math> :
<math>t(x)=\frac{AM}{c}+\frac{MB}{v}</math>, soit
<math>t(x)=\frac{1}{c}\sqrt{(x-p)^2+q^2}+\frac{1}{v}\sqrt{(x-r)^2+s^2}</math>
Ceci définit une fonction <math>t:x\mapsto t(x)</math> qui a cette allure :
((t_min2.jpg|Pas de description))

Le minimum de <math>t</math> correspond au point <math>x</math> unique où la dérivée s'annule : <math>t'(x)=0</math>.
Or
<math>t'(x)=\frac{1}{c}\frac{2(x-p)}{2\sqrt{(x-p)^2+q^2}}+\frac{1}{v}\frac{2(x-r)}{2\sqrt{(x-r)^2+s^2}}=0</math>
soit
<math>\frac{x-p}{c\sqrt{(x-p)^2+q^2}}=-\frac{x-r}{v\sqrt{(x-r)^2+s^2}}</math>
Le signe (-) après le signe (=) montre que <math>x-p</math> et <math>x-r</math> sont de signes contraires, c'est-à-dire que (ici, voir schéma, <math>r<x (le point <math>M</math> se trouve entre les projections de <math>A</math> et <math>B</math> sur la surface de l'eau, ce qui est normal. S'il était extérieur à ce segment, les distances en cause et la durée du trajet auraient forcément été supérieures).
On peut écrire, comme égalité de nombres positifs :
<math>\frac{p-x}{c\sqrt{(x-p)^2+q^2}}=\frac{x-r}{v\sqrt{(x-r)^2+s^2}}</math>
Or (voir schéma ci-dessous)
((Descartes2|Loi de Descartes pour la réfraction))

<math>p-x=AH,\,x-r=BK,\sqrt{(x-p)^2+q^2}=AM,\,et\,\sqrt{(x-r)^2+s^2}=MB</math>
Donc, la nullité de la dérivée de <math>t</math> s'écrit
<math>\frac{1}{c}\frac{AH}{AM}=\frac{1}{v}\frac{BK}{BM}</math>
soit
<math>\frac{\sin i}{c}=\frac{\sin r}{v}</math>
ce qui revient bien à 
<math>\sin i= n\, \sin r</math>.

Phénomène de réfraction de la lumière

On remarque qu'un rayon de lumière entrant dans l'eau change de direction : il se propage en ligne droite dans l'air et dans l'eau, mais subit un changement net de direction en passant d'un milieu transparent à l'autre : on dit qu'il est réfracté.
Si l'on fait quelques mesures d'angles, en posant $Formule mathématique$ l'angle d'incidence, c'est-à-dire l'angle du rayon entrant avec la normale à la surface de l'eau, et $Formule mathématique$ l'angle de réfraction, c'est-à-dire l'angle du rayon réfracté avec la même normale à la surface de l'eau, on observe que
$Formule mathématique$ .
D'autre part, si l'on mesure la vitesse de la lumière dans le vide, on trouve une valeur $Formule mathématique$ de l'ordre de $Formule mathématique$ . Dans l'air, la vitesse de la lumière est quasiment celle dans le vide.
Mais dans l'eau, on trouvera une valeur $Formule mathématique$ telle que $Formule mathématique$ très précisément.
Ainsi, le rapport des sinus des angles d'incidence et de réfraction n'est autre que le rapport des vitesses de la lumière dans l'air et dans l'eau.

Le principe d'Huygens

Voyons si l'hypothèse de ce principe fonctionne : la lumière se propage en ligne droite dans l'air comme dans l'eau, à cause de l'homogénéité et de l'isotropie de ces deux milieux.
Considérons un point $Formule mathématique$ situé dans l'air, et un point $Formule mathématique$ situé dans l'eau, et voyons comment la lumière pourrait aller de $Formule mathématique$ à $Formule mathématique$ en un temps minimum.
Ramenons le problème à deux dimensions : $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ appartenant à un plan perpendiculaire à la surface de l'eau. Nous schématiserons la surface de l'eau comme axe des $Formule mathématique$ dans la figure ci-après :
$trajet du rayon réfracté$

Nous poserons pour les coordonnées des points de départ et d'arrivée : $Formule mathématique$
On cherche un point $Formule mathématique$ (sur l'axe des x, donc) tel que le trajet soit le plus court possible en temps écoulé.
La lumière se propage à la vitesse $Formule mathématique$ dans l'air et $Formule mathématique$ dans l'eau, avec $Formule mathématique$ .
Le temps de parcours de la lumière dépend bien sûr de $Formule mathématique$ , abscisse de $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$ , soit
$Formule mathématique$
Ceci définit une fonction $Formule mathématique$ qui a cette allure :
Pas de description

Le minimum de $Formule mathématique$ correspond au point $Formule mathématique$ unique où la dérivée s'annule : $Formule mathématique$ .
Or
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
Le signe (-) après le signe (=) montre que $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont de signes contraires, c'est-à-dire que (ici, voir schéma, $Formule mathématique$ (le point $Formule mathématique$ se trouve entre les projections de $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sur la surface de l'eau, ce qui est normal. S'il était extérieur à ce segment, les distances en cause et la durée du trajet auraient forcément été supérieures).
On peut écrire, comme égalité de nombres positifs :
$Formule mathématique$
Or (voir schéma ci-dessous)
$Loi de Descartes pour la réfraction$

$Formule mathématique$
Donc, la nullité de la dérivée de $Formule mathématique$ s'écrit
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$
ce qui revient bien à
$Formule mathématique$ .

Membres

Cours

Ressources

Site

Licence

Partenaires

Réfraction de la lumière et principe de Huygens

Phénomène de réfraction de la lumière

Le principe d'Huygens