Introduction élémentaire à la Mécanique relativiste

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=Limite non-relativiste de la mécanique relativiste=
La mécanique newtonienne, que nous utilisons tous les jours pour piloter un avion ou même envoyer un satellite en orbite terrestre ou lunaire (et même, avec une précision très acceptable, vers Mars ou Vénus), est bien sûr vraie en tant que limite de la mécanique relativiste, qui est vraie pour tous les domaines de vitesse de 0 à c, vitesse de la lumière.
Regardons par exemple l'impulsion :
<math>p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\simeq mv</math>
lorsque <math>\frac{v}{c}<<1</math>
Pour l'énergie, nous utiliserons la formule d'approximation (voir la leçon "approximations du premier ordre" dans Mathématiques) :
<math>\(1+a)^\alpha\simeq 1+\alpha a</math>
en particulier ici
<math>\frac{1}{\sqrt{1+a}}=(1+a)^{-\frac{1}{2}}\simeq 1-\frac{a}{2}</math>
Donc
<math>E\simeq mc^2(1+\frac{v^2}{2c^2})=mc^2+\frac{1}{2}mv^2</math>
On retrouve l'énergie cinétique sous sa forme newtonienne, classique : <math>E_c=\frac{1}{2}mv^2\,;\,E=E_{repos}+E_c</math>
Quant à nous, plus rigoureusement, nous définirons l'énergie cinétique comme
<math>E_c=E-mc^2=mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)</math>

Limite non-relativiste de la mécanique relativiste

La mécanique newtonienne, que nous utilisons tous les jours pour piloter un avion ou même envoyer un satellite en orbite terrestre ou lunaire (et même, avec une précision très acceptable, vers Mars ou Vénus), est bien sûr vraie en tant que limite de la mécanique relativiste, qui est vraie pour tous les domaines de vitesse de 0 à c, vitesse de la lumière.
Regardons par exemple l'impulsion :
$Formule mathématique$
lorsque $Formule mathématique$
Pour l'énergie, nous utiliserons la formule d'approximation (voir la leçon "approximations du premier ordre" dans Mathématiques) :
$Formule mathématique$
en particulier ici
$Formule mathématique$
Donc
$Formule mathématique$
On retrouve l'énergie cinétique sous sa forme newtonienne, classique : $Formule mathématique$
Quant à nous, plus rigoureusement, nous définirons l'énergie cinétique comme
$Formule mathématique$

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