Perfectionnons un peu les identités remarquables et calculons plus vite et plus facilement

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=Carré d'une somme=
On connaît les formules 
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\,\,;\,\,(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>
En fait, la deuxième est inutile à un calculateur habitué aux sommes algébriques ; par exemple 
<math>2x-3\,\,n'est\,\,autre\,\,que\,\,2x+(-3)</math>, et je peux facilement utiliser la première formule pour calculer son carré :
<math>(2x-3)^2=(2x)^2+2.2x.(-3)+(-3)^2=4x^2-12x+9</math>
==Généralisations==

__Donnons le développement du carré d'une somme de 3 termes :__
<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc</math>
(on obtient comme développement : ''somme des carrés + somme des double-produits'')
''Preuve'' : faire un simple développement de <math>(a+b+c)(a+b+c)</math> et c'est définitif !
''Exemples'' : On a ''instantanément'' :
<math>(x+2y+3)^2=x^2+4y^2+9+4xy+6x+12y</math>
<math>(2x-y+5z)^2=4x^2+y^2+25z^2-4xy+20xz-10yz</math>
<math>(3x-2y-z\sqrt{2})^2=9x^2+4y^2+2z^2-12xy-6xz\sqrt{2}+4yz\sqrt{2}</math> Et voilà ! C'est instantané et facile ! Il faut bien sûr avoir la règle des signes pour la multiplication en tête, mais qui ne l'a pas ?
__Généralisons au développement du carré d'une somme de 4 termes__
<math>(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd</math>
Ici encore, on obtient comme développement : ''somme des carrés + somme des double-produits''
''Petit exemple''
<math>(x+2y-3z+5)^2=x^2+4y^2+9z^2+25+4xy-6xz+10x-12yz+20y-30z</math>
 =Cube d'une somme=
Certains ne connaissent pas la formule élémentaire (ancien programme de 4e des Collèges, "enseignement court", en France, avant 1981) :
<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math>
accompagnée de la formule obtenue en changeant le signe de <math>b</math> :
<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3</math>
Encore une fois, nous déclarons que la deuxième est facultative, si l'on fait attention aux signes dans les sommes algébriques...
Pour démontrer la première, il suffit de développer une fois pour toutes <math>(a+b)(a^2+2ab+b^2)</math> et c'est fini une fois pour toutes !
Le résultat développé (le membre de droite) contient les cubes des termes, et des termes de forme <math>3a^2b</math>, triple du carré d'un terme par un autre terme.
    ==Généralisations==
On peut passer au cube d'une somme de trois réels ; on obtient après un calcul classique :
<math>(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2a+3b^2c+3c^2a+3c^2b+6abc</math>
* Les trois premiers termes nous sont familiers : ce sont les cubes des termes
* les six suivants aussi : ce sont les triples des produits du carré d'un terme par un autre terme.
* le dernier terme est d'un genre nouveau, qu'on ne pouvait pas réaliser avec une somme de deux termes : le produit des 3 différents termes.
Ceci se généralise aisément à une somme de 4 termes ou plus : 
Il suffit d'additionner 
* les cubes des termes
* les triples des produit du carré d'un terme avec un autre terme
* 6 fois tous les produits de 3 termes différents.
''Exemples''
1) Somme de trois termes :
<math>(x-2y+\frac{1}{2})^3=x^3-8y^3+\frac{1}{8}+3x^2(-2y+\frac{1}{2})+12y^2(x+\frac{1}{2})+\frac{3}{4}(x-2y)-6xy</math>
<math>=x^3-8y^3+\frac{1}{8}-6x^2y+\frac{3}{2}x^2+12xy^2+6y^2+\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}y-6xy</math>
2) Somme de quatre termes :
<math>(x-2y+3z-\sqrt{5})^3=x^3-8y^3+27z^3-5\sqrt{5}+3x^2(-2y+3z-\sqrt{5})+12y^2(x+3z-\sqrt{5})+27z^2(x-2y-\sqrt{5})</math>
<math>+15(x-2y+3z)-36xyz+36yz\sqrt{5}-18xz\sqrt{5}+12xy\sqrt{5}</math>
<math>=x^3-8y^3+27z^3-5\sqrt{5}-6x^2y+9x^2z-3x^2\sqrt{5}+12xy^2+36y^2z-12y^2\sqrt{5}+27xz^2-54yz^2-27z^2\sqrt{5}+15x-30y+45z</math>
<math>-36xyz+36yz\sqrt{5}-18xz\sqrt{5}+12xy\sqrt{5}</math>

Note du copiste : ''Si vous avez suivi tout ça avec attention et la plume à la main, alors vous devez avoir fait des progrès fantastiques en calcul algébrique... élémentaire !''  :lol:

Sommaire

1 Carré d'une somme
1.1 Généralisations
2 Cube d'une somme
2.1 Généralisations

Carré d'une somme

On connaît les formules
$Formule mathématique$
En fait, la deuxième est inutile à un calculateur habitué aux sommes algébriques ; par exemple
$Formule mathématique$ , et je peux facilement utiliser la première formule pour calculer son carré :
$Formule mathématique$

Généralisations

Donnons le développement du carré d'une somme de 3 termes :
$Formule mathématique$
(on obtient comme développement : somme des carrés + somme des double-produits)
Preuve : faire un simple développement de $Formule mathématique$ et c'est définitif !
Exemples : On a instantanément :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$ Et voilà ! C'est instantané et facile ! Il faut bien sûr avoir la règle des signes pour la multiplication en tête, mais qui ne l'a pas ?
Généralisons au développement du carré d'une somme de 4 termes
$Formule mathématique$
Ici encore, on obtient comme développement : somme des carrés + somme des double-produits
Petit exemple
$Formule mathématique$

Cube d'une somme

Certains ne connaissent pas la formule élémentaire (ancien programme de 4e des Collèges, "enseignement court", en France, avant 1981) :
$Formule mathématique$
accompagnée de la formule obtenue en changeant le signe de $Formule mathématique$ :
$Formule mathématique$
Encore une fois, nous déclarons que la deuxième est facultative, si l'on fait attention aux signes dans les sommes algébriques...
Pour démontrer la première, il suffit de développer une fois pour toutes $Formule mathématique$ et c'est fini une fois pour toutes !
Le résultat développé (le membre de droite) contient les cubes des termes, et des termes de forme $Formule mathématique$ , triple du carré d'un terme par un autre terme.

Généralisations

On peut passer au cube d'une somme de trois réels ; on obtient après un calcul classique :
$Formule mathématique$

Les trois premiers termes nous sont familiers : ce sont les cubes des termes
les six suivants aussi : ce sont les triples des produits du carré d'un terme par un autre terme.
le dernier terme est d'un genre nouveau, qu'on ne pouvait pas réaliser avec une somme de deux termes : le produit des 3 différents termes.

Ceci se généralise aisément à une somme de 4 termes ou plus :
Il suffit d'additionner

les cubes des termes
les triples des produit du carré d'un terme avec un autre terme
6 fois tous les produits de 3 termes différents.

Exemples
1) Somme de trois termes :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
2) Somme de quatre termes :
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Note du copiste : Si vous avez suivi tout ça avec attention et la plume à la main, alors vous devez avoir fait des progrès fantastiques en calcul algébrique... élémentaire ! :lol:

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Sommaire

Carré d'une somme

Généralisations

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