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Nous allons montrer, dans le cadre de la Relativité restreinte, que si je peux envoyer un signal à vitesse infinie (ou, disons, beaucoup plus rapide que la lumière, mais permet une discussion plus brève et claire, sans changer l'essentiel).
Je voudrais pouvoir discuter sur l'envoi d'un signal par moi à Nous avons vu la transformation de Lorentz "de base"
En fait, on n'est pas obligé de prendre les origines des coordonnées de cette unique façon. La transformation de Lorentz garantit seulement que les quantités infinitésimales vérifient dans tous les référentiels galiléens . Je peux donc remplacer par , remplaçant l'origine des abscisses en laissant les autres coordonnées inchangées, ce qui donne
Alors, le point d'espace-temps de coordonnées dans le référentiel R coïncidera avec le point de coordonnées dans le référentiel R'.
Nous faisons ce choix pour la raison suivante : Je suis placé à l'origine du référentiel R, à l'instant 0, donc à . A cet instant exact, j'envoie un signal à vitesse infinie dans la direction , vers les , jusqu'à un correspondant placé à la distance .
Ce correspondant, extra-terrestre et même extra-galactique, se trouve sur une lointaine galaxie animée d'une vitesse de récession par rapport à nous (dilatation de l'Univers, Hubble). Il se trouve lui-même à l'origine de son propre référentiel, à l'instant 0, lorsqu'il reçoit mon signal : .
Aussitôt qu'il a reçu mon signal, mon correspondant extra-galactique m'envoie un signal en retour, à vitesse infinie également (de son point de vue). Pour lui, le signal me parvient en un point de son axe des , car le temps de propagation du signal est nul de son point de vue (donc à l'arrivée dans mon laboratoire). Or son axe des a pour équation , soit ... de même que son axe des a pour équation , soit . Le signal de retour m'atteint bien sûr au point vérifiant à la fois , soit avec autrement dit, à l'instant Conclusion : je reçois le signal de retour avant d'avoir envoyé le premier signal (qui a déclenché celui que je viens de recevoir). Illustrons ceci par un diagramme d'espace-temps :
Nous montrons seulement au vu d'un diagramme, que le résultat est essentiellement le même : Ici, le signal n'arrive pas instantanément, mais en un temps suffisamment court ( dans R lorsque l'observateur extraterrestre le reçoit), et il est renvoyé en un temps également cours ( dans R' lorsque je reçois le signal en retour). On obtient essentiellement le même résultat, un peu moins fort, d'inversion en quelque sorte du sens de la causalité.
