Groupe : Visiteur

Chemin : Daskoo > Cours > Mathématiques > POL3 - Polynômes et sommes de puissances d'entiers - Corrigé

POL3 - Polynômes et sommes de puissances d'entiers - Corrigé

Vous apprêter à modifier un cours, merci de respecter certaines règles.
-Respecter la politique Daskoo: Expliquer simplement, clairement... Compréhensible par tous !
- Insérer des images présente sur le serveur.
- Ne pas insérer du texte provenant d'un autre site/article, sans l'accord du/des auteurs.

Titre & matière du cours <<<

Titre du cours:

Branche/Matière:

Aide à la validation <<<

Rapide descriptif de la modification: ( Très important pour les validateurs )

Texte <<<

	Ajouter une image
	Tous les smileys

1. Comme on a pour tout <math>n\in\mathbb{N}</math>

<math>P(n)=1+2+3+...+(n-1)+n</math> et 
<math>P(n-1)=1+2+3+...+(n-1)</math>,

il est clair que

<math>P(n)-P(n-1)=n</math>

Posons ''a priori''

<math>P(n)=an^2+bn+c</math>

Il est assez légitime de poser <math>P(0)=0</math>, car <math>P(n)</math> est la somme de <math>n</math> entiers, donc <math>P(0)</math> est la somme de 0 entier, donc est nul.

Mais <math>P(0)=c</math>, donc <math>c=0</math>.

On a donc

<math>P(n)-P(n-1)=an^2+bn+c-a(n-1)^2-b(n-1)-c</math>
<math>=a(2n-1)+b=n</math>
soit
<math>2an+b-a=n</math>

On a à identifier deux polynômes, donc à égaler leurs coefficients de même degré :

<math>2a=1</math>
<math>b-a=0</math>

Donc

<math>a=b=\frac{1}{2}</math>

Résultat, on a bien

<math>1+2+3+...+n=\frac{1}{2}(n^2+n)</math>

On obtient la __formule de sommation__

<math>1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}</math>

La vérification est facile : par exemple,
<math>1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55=\frac{10\times 11}{2}</math>

2. On a de même (pour tout <math>n\in\mathbb{N}</math>)

<math>1+4+9+...+(n-1)^2+n^2=Q(n)</math>
et
<math>1+4+9+...+(n-1)^2=Q(n-1)</math>

Donc

<math>Q(n)-Q(n-1)=n^2</math>

Si l'on pose

<math> Q(n)=an^3+bn^2+cn+d</math>
et 
<math>Q(0)=d=0</math>

alors

<math>an^3+bn^2+cn-a(n-1)^3-b(n-1)^2-c(n-1)=n^2</math>

soit

<math>a(3n^2-3n+1)+b(2n-1)+c=n^2</math>

Encore une fois, identifions les deux polynômes ainsi égalés :

<math>3a=1</math>
<math>2b-3a=0</math>
<math>a-b+c=0</math>

Ce qui donne immédiatement :

<math>a=\frac{1}{3}\,;\,b=\frac{3}{2}a=\frac{1}{2}\,;\,c=b-a=\frac{1}{6}</math>

Donc

<math>Q(n)=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n</math>

soit

<math>Q(n)=\frac{1}{6}(2n^3+3n^2+n)=\frac{1}{6}n(2n^2+3n+1)</math>

Le polynôme <math>2n^2+3n+1</math> admet une racine évidente : -1, car 2 - 3 + 1 = 0.
Il se factorise donc immédiatement en <math>(n+1)(2n+1)</math>

En tout, on obtient la __formule de sommation__

<math>1+4+9+...+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)</math>

3) Posons <math>R(n)=an^4+bn^3+cn^2+dn+e</math>

On pose encore <math>R(0)=e=0</math>

On trouve de même (pour tout entier <math>n</math>)

<math>R(n)-R(n-1)=n^3</math>

Soit (pour tout <math>n\in\mathbb{N}</math>)

<math>a(4n^3-6n^2+4n-1)+b(3n^2-3n+1)+c(2n-1)+d=n^3</math>

Ceci donne le système

<math>4a=1</math>
<math>3b-6a=0</math>
<math>4a-3b+2c=0</math>
<math>-a+b-c+d=0</math>

Ceci donne immédiatement

<math>a=\frac{1}{4}\,;\,b=2a=\frac{1}{2}\,;\,c=\frac{3}{2}b-2a=\frac{1}{4}\,;\,d=a-b+c=0</math>

Donc

<math>R(n)=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2</math>

ou finalement, la __formule de sommation__

<math>1+8+27+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>

1. Comme on a pour tout $Formule mathématique$

$Formule mathématique$ et
$Formule mathématique$ ,

il est clair que

$Formule mathématique$

Posons a priori

$Formule mathématique$

Il est assez légitime de poser $Formule mathématique$ , car $Formule mathématique$ est la somme de $Formule mathématique$ entiers, donc $Formule mathématique$ est la somme de 0 entier, donc est nul.

Mais $Formule mathématique$ , donc $Formule mathématique$ .

On a donc

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$

On a à identifier deux polynômes, donc à égaler leurs coefficients de même degré :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Donc

$Formule mathématique$

Résultat, on a bien

$Formule mathématique$

On obtient la formule de sommation

$Formule mathématique$

La vérification est facile : par exemple,
$Formule mathématique$

2. On a de même (pour tout $Formule mathématique$ )

$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$

Donc

$Formule mathématique$

Si l'on pose

$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$

alors

$Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

Encore une fois, identifions les deux polynômes ainsi égalés :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Ce qui donne immédiatement :

$Formule mathématique$

Donc

$Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

Le polynôme $Formule mathématique$ admet une racine évidente : -1, car 2 - 3 + 1 = 0.
Il se factorise donc immédiatement en $Formule mathématique$

En tout, on obtient la formule de sommation

$Formule mathématique$

3) Posons $Formule mathématique$

On pose encore $Formule mathématique$

On trouve de même (pour tout entier $Formule mathématique$ )

$Formule mathématique$

Soit (pour tout $Formule mathématique$ )

$Formule mathématique$

Ceci donne le système

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Ceci donne immédiatement

$Formule mathématique$

Donc

$Formule mathématique$

ou finalement, la formule de sommation

$Formule mathématique$