ED2 - Equation différentielle linéaire du second ordre

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Même si les cours actuels de Terminale n'en parlent pas, cela vaut la peine, ne serait-ce que pour résoudre les circuits électriques en courant alternatifs, avec résistances, capacités et bobines auto-inductantes.

Nous allons voir que nous sommes bel et bien capable de résoudre des équations différentielles linéaires du second ordre.

1. Cas général pour l'équation sans second membre.

Considérons l'équation différentielle d'inconnue <math>y</math>, fonction deux fois dérivables de la variable <math>x</math> :

<math>ay''+by'+cy=0</math> (1)

Chercher les solutions de forme <math>f:x\mapsto e^{kx}</math> avec <math>k\in\mathbb{R}</math>

On distinguera les cas où <math>\Delta=b^2-4ac</math> est positif, nul ou négatif.

On peut passer par des solutions qui sont des fonctions complexes. Dans le cas <math>\Delta=0</math>, montrer que <math>x\mapsto xe^{kx}</math> est encore solution de (1)

Montrer que si  <math>f</math>  et  <math>g</math>   sont des solutions de (1), alors  <math>\lambda f+\mu g</math> est aussi solution de (1), quelles que soient les valeurs des constantes <math>\lambda,\mu</math>.

2. Questions à résoudre, en guise d'exemples.

a) Soit l'équation

<math>y''+400y=x^2-1</math> (2)

Chercher d'abord une solution particulière <math>f_1</math> (on la devine polynômiale), puis montrer que si <math>f</math> est la solution générale cherchée, alors <math>f_0=f-f_1</math> est solution de l'équation

<math>y''+400y=0</math> (2')

Trouver <math>f_0</math>, puis donner la solution de (2) telle que

b) Soit l'équation

<math>y''-y'-6y=cos(2x)+3</math> (3)

Résoudre l'équation par la même méthode. 
Indication : chercher une solution particulière sous forme <math>f_1(x)=a\cos (2x)+b\sin (2x)+c</math>

On donnera une solution satisfaisant à <math>f(0)=5\,et\,f(\frac{\pi}{4})=-2</math>

c) Soit l'équation

<math>y''-4y'+4y=x-2</math> (4)

Mêmes questions.
Indication : on cherchera une solution particulière sous la forme <math>f_1(x)=ax+b</math>
On donnera une solution telle que

Nous allons voir que nous sommes bel et bien capable de résoudre des équations différentielles linéaires du second ordre.

1. Cas général pour l'équation sans second membre.

Considérons l'équation différentielle d'inconnue $Formule mathématique$ , fonction deux fois dérivables de la variable $Formule mathématique$ :

$Formule mathématique$ (1)

Chercher les solutions de forme $Formule mathématique$ avec $Formule mathématique$

On distinguera les cas où $Formule mathématique$ est positif, nul ou négatif.

On peut passer par des solutions qui sont des fonctions complexes. Dans le cas $Formule mathématique$ , montrer que $Formule mathématique$ est encore solution de (1)

Montrer que si $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ sont des solutions de (1), alors $Formule mathématique$ est aussi solution de (1), quelles que soient les valeurs des constantes $Formule mathématique$ .

2. Questions à résoudre, en guise d'exemples.

a) Soit l'équation

$Formule mathématique$ (2)

Chercher d'abord une solution particulière $Formule mathématique$ (on la devine polynômiale), puis montrer que si $Formule mathématique$ est la solution générale cherchée, alors $Formule mathématique$ est solution de l'équation