ED2 - Equation différentielle du second ordre - Corrigé

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1. Considérons l'équation

<math>ay''+by'+cy=0</math> (1)

En posant <math>f(x)=e^{kx}</math>, on a aussi 
<math>f'(x)=ke^{kx}</math>
et
<math>f''(x)=k^2e^{kx}</math>
L'équation (1) s'écrit

Comme le facteur exponentiel ne s'annulera jamais, ceci revient à

* Si <math>\Delta=b^2-4ac>0</math>, on a deux solutions distinctes <math>e^{k_1 x}\,et\,e^{k_2 x}</math>

* Si <math>\Delta=0</math> on n'a qu'une solution <math>e^{kx}</math>, mais vérifions que <math>\varphi \,:\,  x\mapsto xe^{kx}</math> est aussi solution de (1) :

<math>\varphi '(x)=e^{kx}+kxe^{kx}=(1+kx)e^{kx}</math>

<math>\varphi ''(x)=ke^{kx}+k(1+kx)e^{kx}=(2k+k^2x)e^{kx}</math>

Donc

<math>a\varphi ''(x)+b\varphi '(x)+c\varphi(x)=[a(2k+k^2x)+b(1+kx)+cx]e^{kx}</math>

car <math>k=-\frac{b}{2a}</math> (racine double puisque <math>\Delta=0</math>)
et
<math>ak^2+bk+c=0</math> (<math>k</math> est une racine du trinôme)

* Si <math>\Delta <0</math>, alors l'équation du second degré en <math>k</math> admet deux racines complexes distinctes, conjuguées complexes l'une de l'autre :

<math>k_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\,;\,k_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}</math>
que nous écrirons
<math>k_1=\alpha-i\omega\,;\,k_2=\alpha+i\omega</math>
Les solutions cherchées sont donc

<math>e^{(\alpha-i\omega)x}=e^{\alpha x}(\cos \omega x-i\sin \omega x)</math>
et
<math>e^{(\alpha+i\omega)x}=e^{\alpha x}(\cos\omega x + i\sin \omega x)</math>

Montrons qu'__une combinaison linéaires de solutions de (1) est une solution de (1)__ :

Si <math>f\,et\,g</math> sont des solutions de (1), on peut écrire

En multipliant les membres de la première équation par <math>\lambda</math> et ceux de la deuxième par <math>\mu</math> et en additionnant membre à membre, on obtient

<math>a[\lambda f'\,'(x)+\mu g'\,'(x)]+b[\lambda f'(x)+\mu g'(x)]+c[\lambda f(x)+\mu g(x)]=0</math>

Ce qui signifie que <math>\lambda f +\mu g </math> est aussi solution de (1).

2. Considérons l'équation

<math>y''+400y=x^2-1</math> (2)

Cherchons une solution particulière de forme <math>f_1(x)=ax^2+bx+c</math>

On a

L'équation (2) s'écrit

Ces deux polynômes sont égaux si leurs coefficients de même degré sont identiques :

Donc

A présent, si nous appelons <math>f</math> la solution générale cherchée, on peut écrire

En soustrayant les deux équations membre à membre :

Autrement dit, la fonction <math>f_0=f-f_1</math> est solution de l'équation

<math>y''+400y=0</math> (2')

Cherchons des solutions sous forme <math>x\mapsto e^{kx}</math> :

L'équation (2') s'écrit

soit

autrement dit

On a donc deux solutions de ce type :

Une combinaison linéaire quelconque de ces solutions est aussi solution de l'équation (2') :

Parmi toutes ces solutions, il y en a une infinité qui sont des fonctions réelles : il suffit de poser les conditions

<math>a+b\in \mathbb{R}\,et\,i(a-b)\in\mathbb{R}</math>
ou
<math>a+b</math> réel et <math>a-b</math> imaginaire pur.

Ce qui revient à : <math>a=\bar{b}</math>

En tout, <math>f_0(x)=K\cos 20x + L\sin 20x</math> (<math>K,L\in\mathbb{R}</math>)

Comme <math>f_0=f-f_1</math>, la solution générale cherchée est <math>f=f_0+f_1</math>, soit

<math>f(x)=K\cos 20x + K\sin 20 x+\frac{x^2}{400}-\frac{201}{80\,000}\,,K,L\in\mathbb{R}</math>

b) Considérons l'équation

<math>y''-y'-6y=\cos 2x+3</math> (3)

Cherchons d'abord une solution particulière, de forme <math>f_1(x)=a\cos 2x+b\sin 2x +c</math>
On a 
<math>f_1'(x)=-2a\sin 2x+2b\cos 2x</math>
<math>f_1'\,'=-4a\cos 2x-4b\sin 2x</math>

L'équation (3) s'écrit

Identifions les coefficients correspondants :

d'où

Donc

Avec la même méthode que plus haut, on voit que, si <math>f</math> est la solution générale cherchée,  <math>f_0=f-f_1</math> est solution de l'équation

<math>y''-y'-6y=0</math> (3')

Cherchons des solutions de forme <math>x\mapsto e^{kx}</math> : elles satisfont à l'équation caractéristique :

Donc <math>k=3\,ou\,k=-2</math>

Les solutions de cette forme sont <math>x\mapsto e^{3x}\,ou\,e^{-2x}</math>

Les combinaisons linéaires, de forme <math>x\mapsto Ae^{3x}+Be^{-2x}</math>, sont toutes dse solutions de (3')

La solution générale cherchée est donnée par

<math>f(x)=f_0(x)+f_1(x)=Ae^{3x}+Be^{-2x}-\frac{5}{52}\cos 2x-\frac{1}{52}\sin 2x-\frac{1}{2}</math> (avec <math>A,B\in\mathbb{R}</math>)

On cherche la solution satisfaisant aux conditions

soit
<math>A+B=\frac{291}{52}</math>
<math>Ae^{\frac{3\pi}{4}}+Be^{-\frac{\pi}{2}}=-\frac{77}{52}</math>

ce qui donne :
<math>A=\frac{

1. Considérons l'équation

$Formule mathématique$ (1)

En posant $Formule mathématique$ , on a aussi
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$
L'équation (1) s'écrit

$Formule mathématique$

Comme le facteur exponentiel ne s'annulera jamais, ceci revient à

$Formule mathématique$

Si $Formule mathématique$ , on a deux solutions distinctes $Formule mathématique$

Si $Formule mathématique$ on n'a qu'une solution $Formule mathématique$ , mais vérifions que $Formule mathématique$ est aussi solution de (1) :

$Formule mathématique$

Donc

$Formule mathématique$

car $Formule mathématique$ (racine double puisque $Formule mathématique$ )
et
$Formule mathématique$ ( $Formule mathématique$ est une racine du trinôme)

Si $Formule mathématique$ , alors l'équation du second degré en $Formule mathématique$ admet deux racines complexes distinctes, conjuguées complexes l'une de l'autre :

$Formule mathématique$
que nous écrirons
$Formule mathématique$
Les solutions cherchées sont donc

$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$

Montrons qu'une combinaison linéaires de solutions de (1) est une solution de (1) :

Si $Formule mathématique$ sont des solutions de (1), on peut écrire

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

En multipliant les membres de la première équation par $Formule mathématique$ et ceux de la deuxième par $Formule mathématique$ et en additionnant membre à membre, on obtient

$Formule mathématique$

Ce qui signifie que $Formule mathématique$ est aussi solution de (1).

2. Considérons l'équation

$Formule mathématique$ (2)

Cherchons une solution particulière de forme $Formule mathématique$

On a

$Formule mathématique$

L'équation (2) s'écrit

$Formule mathématique$

Ces deux polynômes sont égaux si leurs coefficients de même degré sont identiques :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Donc

$Formule mathématique$

A présent, si nous appelons $Formule mathématique$ la solution générale cherchée, on peut écrire

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

En soustrayant les deux équations membre à membre :

$Formule mathématique$

Autrement dit, la fonction $Formule mathématique$ est solution de l'équation

$Formule mathématique$ (2')

Cherchons des solutions sous forme $Formule mathématique$ :

L'équation (2') s'écrit

$Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

autrement dit

$Formule mathématique$

On a donc deux solutions de ce type :

$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$

Une combinaison linéaire quelconque de ces solutions est aussi solution de l'équation (2') :

$Formule mathématique$

Parmi toutes ces solutions, il y en a une infinité qui sont des fonctions réelles : il suffit de poser les conditions

$Formule mathématique$
ou
$Formule mathématique$ réel et $Formule mathématique$ imaginaire pur.

Ce qui revient à : $Formule mathématique$

En tout, $Formule mathématique$ ( $Formule mathématique$ )

Comme $Formule mathématique$ , la solution générale cherchée est $Formule mathématique$ , soit

$Formule mathématique$

b) Considérons l'équation

$Formule mathématique$ (3)

Cherchons d'abord une solution particulière, de forme $Formule mathématique$
On a
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

L'équation (3) s'écrit

$Formule mathématique$

Identifions les coefficients correspondants :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

d'où

$Formule mathématique$

Donc

$Formule mathématique$

Avec la même méthode que plus haut, on voit que, si $Formule mathématique$ est la solution générale cherchée, $Formule mathématique$ est solution de l'équation

$Formule mathématique$ (3')