CI7 - Doubles intégrations par parties évitables - Corrigé

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1) On veut calculer
<math>I=\int_0^2e^{-x}(x^2-3x+1)dx</math>
__Première méthode : intégrer par parties 2 fois__
On peut écrire
<math>I=[-e^{-x}(x^2-3x+1)]_0^2-\int_0^2(-e^{-x}(2x-3)dx</math>
__Astuce :__ Ne pas poser lourdement par écrit
<math>u'=e^{-x}\,;\,v=x^2-3x+1\,;\,u=-e^{-x}\,;\,v'=2x-3\,!</math> 
Par contre, écrire (la 2e ligne étant au crayon à papier, qu'il suffira de gommer à la fin, laissant un calcul impeccable !) :
((integration_par_parties|ipp))
On a donc obtenu

Nous avons encore une deuxième et dernière intégration par parties à faire ; ce qui donne

[''Vérification immédiate avec Xcas : taper'' int(exp(-x)*(x^2-3*x+1),x=0..2) ''et l'on obtient bien <math>-2e^{-2}</math>'']

__Deuxième méthode (astuce) :__
On devine facilement qu'une primitive de 
<math>f:x\mapsto e^{-x}(x^2-3x+1)</math> est de forme 
<math>F:x\mapsto e^{-x}(ax^2+bx+c)</math>
Pour déterminer <math>a,b,c</math>, il suffit d'écrire <math>F'(x)=f(x)</math>, soit

<math>-e^{-x}(ax^2+bx+c)+e^{-x}(2ax+b)=e^{-x}(x^2-3x+1)</math>
Cela revient à identifier deux polynômes, ou encore à identifier leurs coefficients de même degré :

Donc <math>a=-1\,;\,b=1\,;\,c=0</math>

Finalement,

<math>I=[e^{-x}(-x^2+x)]_0^2=e^{-2}(-4+2)=-2e^{-2}</math>
__Cette méthode est nettement plus intéressante que celle de la double intégration par parties !__

2) On veut calculer

On pourrait __intégrer par parties (2 fois)__, mais c'est long et risqué :

<math>J=[\frac{e^{2x}}{2}\cos 3x]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{2x}}{2}(-3\sin 3x)dx</math>
<math>=[\frac{e^{2x}}{2}\cos 3x]_0^{\frac{\pi}{2}}+\frac{3}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{2x}\sin 3x dx</math>
Appliquons le même traitement à l'intégrale qui vient d'apparaître, en faisant les bons choix (car sinon, on va faire exactement marche arrière, obtenant quelque chose équivalant à 0 =  0) :

<math>J=[\frac{e^{2x}}{2}\cos 3x]_0^{\frac{\pi}{2}}+\frac{3}{2}\left{[\frac{e^{2}}{2}\sin{3x}]_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{2x}}{2}3\cos 3xdx\right}</math>
soit
<math>J=[\frac{e^{2x}}{2}\cos 3x]_0^{\frac{\pi}{2}}+\frac{3}{2}[\frac{e^{2}}{2}\sin{3x}]_0^{\frac{\pi}{2}}-\frac{9}{4}J</math>

Donc

D'où

__Autre méthode (astuce) :__

On devine qu'une primitive de <math>f:x\mapsto e^{2x}\cos 3x</math> est de forme <math>F:x\mapsto e^{2x}(a\cos 3x+b\sin3x)</math>

Pour déterminer <math>a,b</math>, écrivons <math>F'(x)=f(x)</math> :

Identifions les coefficients des cosinus et sinus :

On trouve aisément 
<math>a=\frac{2}{13}\,;\,b=\frac{3}{13}</math>

D'où

<math>J=\left[\left(\frac{2}{13}\cos 3x+\frac{3}{13}\sin 3x\right)e^{2x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{3}{13}e^{\pi}-\frac{2}{13}</math>

1) On veut calculer
$Formule mathématique$
Première méthode : intégrer par parties 2 fois
On peut écrire
$Formule mathématique$
Astuce : Ne pas poser lourdement par écrit
$Formule mathématique$
Par contre, écrire (la 2e ligne étant au crayon à papier, qu'il suffira de gommer à la fin, laissant un calcul impeccable !) :
ipp
On a donc obtenu

$Formule mathématique$

Nous avons encore une deuxième et dernière intégration par parties à faire ; ce qui donne

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

[Vérification immédiate avec Xcas : taper int(exp(-x)*(x^2-3*x+1),x=0..2) et l'on obtient bien $Formule mathématique$ ]

Deuxième méthode (astuce) :
On devine facilement qu'une primitive de
$Formule mathématique$ est de forme
$Formule mathématique$
Pour déterminer $Formule mathématique$ , il suffit d'écrire $Formule mathématique$ , soit

$Formule mathématique$
Cela revient à identifier deux polynômes, ou encore à identifier leurs coefficients de même degré :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Donc $Formule mathématique$

Finalement,

$Formule mathématique$
Cette méthode est nettement plus intéressante que celle de la double intégration par parties !

2) On veut calculer

$Formule mathématique$

On pourrait intégrer par parties (2 fois), mais c'est long et risqué :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
Appliquons le même traitement à l'intégrale qui vient d'apparaître, en faisant les bons choix (car sinon, on va faire exactement marche arrière, obtenant quelque chose équivalant à 0 = 0) :