AE2 - Extrémum d'une expression du second degré - Corrigé

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On veut montrer que les expressions suivantes présentent une valeur maximale ou minimale lorsque <math>x</math> varie dans <math>\mathbb{R}</math>.

1. <math>A(x)=2x^2-5x-7</math>
Ecrivons
<math>2x^2-5x=2\left(x^2-\frac{5}{2}x\right)</math>
puis appliquons la "''formule magique''" à <math>x^2-\frac{5}{2}x</math> ; on obtient :

<math>A(x)=2\left[\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\left(\frac{5}{4}\right)^2\right]-7</math>

(on rappelle que la moitié de <math>\frac{5}{2}\,est\,\frac{5}{4}</math>)

On peut écrire à présent

<math>A(x)=2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{25}{8}-7=2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{81}{8}</math>

On remarque que <math>A(x)</math> et la __''somme''__ de deux réels : l'un, fixe, de valeur <math>-\frac{81}{8}</math>, l'autre, variable, pouvant prendre toutes les valeurs possibles entre 0 et <math>+\infty</math> : <math>2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2</math>

Il est donc clair que <math>A(x)</math> a une __valeur minimale__, qui n'est autre que <math>-\frac{81}{8}</math> (puisque <math>A(x)</math> peut prendre toute valeur entre <math>-\frac{81}{8}</math> à <math>+\infty</math>)

Ce __minimum__ est atteint lorsque le carré s'annule, c'est-à-dire lorsque <math>x=\frac{5}{4}</math>

2. <math>B(x)=1+5x-x^2</math>

On peut écrire <math>5x-x^2=-(x^2-5x)</math> puis appliquer la ''formule magique'' à <math>x^2-5x</math> :

<math>B(x)=-(x^2-5x)+1=-\left[\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\left(\frac{5}{2}\right)^2\right]+1</math>
<math>=-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{25}{4}+\frac{4}{4}</math>
<math>=\frac{29}{4}-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2</math>

Voyons : <math>B(x)</math> est obtenu en  prenant un nombre fixe, <math>\frac{29}{4}</math>, et en lui __soustrayant__ une quantité <math>\left(x-\frac{5}{2}\right)^2</math>, quantité qui peut varier entre 0 et l'infini.

Il est clair que <math>B(x)</math> admet un __maximum__, atteint lorsqu'on ne lui retranche ''rien'', c'est-à-dire lorsque le carré s'annule :
La __valeur maximale__ de <math>B(x)</math> est <math>\frac{29}{4}</math>, atteinte lorsque <math>x=\frac{5}{2}</math>

(<math>B(x)</math> varie entre <math>-\infty</math> et <math>\frac{29}{4}</math>)

On veut montrer que les expressions suivantes présentent une valeur maximale ou minimale lorsque $Formule mathématique$ varie dans $Formule mathématique$ .

1. $Formule mathématique$
Ecrivons
$Formule mathématique$
puis appliquons la "formule magique" à $Formule mathématique$ ; on obtient :

$Formule mathématique$

(on rappelle que la moitié de $Formule mathématique$ )

On peut écrire à présent

$Formule mathématique$

On remarque que $Formule mathématique$ et la somme de deux réels : l'un, fixe, de valeur $Formule mathématique$ , l'autre, variable, pouvant prendre toutes les valeurs possibles entre 0 et $Formule mathématique$ : $Formule mathématique$

Il est donc clair que $Formule mathématique$ a une valeur minimale, qui n'est autre que $Formule mathématique$ (puisque $Formule mathématique$ peut prendre toute valeur entre $Formule mathématique$ à $Formule mathématique$ )

Ce minimum est atteint lorsque le carré s'annule, c'est-à-dire lorsque $Formule mathématique$

2. $Formule mathématique$

On peut écrire $Formule mathématique$ puis appliquer la formule magique à $Formule mathématique$ :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

Voyons : $Formule mathématique$ est obtenu en prenant un nombre fixe, $Formule mathématique$ , et en lui soustrayant une quantité $Formule mathématique$ , quantité qui peut varier entre 0 et l'infini.

Il est clair que $Formule mathématique$ admet un maximum, atteint lorsqu'on ne lui retranche rien, c'est-à-dire lorsque le carré s'annule :
La valeur maximale de $Formule mathématique$ est $Formule mathématique$ , atteinte lorsque $Formule mathématique$

( $Formule mathématique$ varie entre $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ )

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