Principe de moindre action (ou d'action extrémale) - Le formalisme lagrangien

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=Introduction=

On observe que l'évolution d'un système, en physique, correspond toujours à la minimisation d'une certaine quantité. Ainsi :
- un objet posé sur un support a tendance à rouler jusqu'au point le plus bas (altitude minimale, énergie potentielle de pesanteur minimale)
- un rayon de lumière traversant le dioptre formé par la surface d'un liquide se réfracte de façon à ce que son temps de parcours entre un point A situé dans l'air et un point B situé dans le liquide soit le plus petit possible.
etc.

En observant tous les cas connus, on peut faire l'hypothèse que, si l'on peut repérer l'évolution d'un système à chaque instant par les coordonnées spatiales et celles des différentes vitesses, l'intégrale sur le déplacement d'une certaine fonction des positions et des vitesses est minimale (ou extrémale, si l'on considère son opposé, ce qui ne change rien physiquement).

Supposons que le système soit repéré à chaque instant par <math>s</math> coordonnées d'espace ''indépendantes'', <math>q_i(t)</math> cartésiennes ou curvilignes <math>(1\leq i\leq s)</math>, et par leurs dérivées en fonction du temps, <math>\dot{q_i}(t)</math>.
On appellera s le nombre de ''degrés de liberté'' du système.

La fonction <math>t\mapsto(q_1(t),q_2(t),...,q_s(t))</math> est appelée trajectoire du système (dans un espace <math>\mathbb{R}^s</math>)

Faisons l'hypothèse qu'il existe une fonction <math>(q_1,q_2,...,q_s,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_s)\mapsto L(q_1,q_2,...,q_s,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_s)</math>, dont l'intégrale sur le parcours d'une "position" A (définie par <math>(q_{1,A},q_{2,A},...,q_{s,A})</math>) occupée à l'instant <math>t_A</math> à une "position" B (définie par <math>(q_{1,B},q_{2,B},...,q_{s,B})</math> atteinte à l'instant <math>t_B</math> soit minimale pour la trajectoire effectivement parcourue par le système.
On la notera pour abréger <math>L(q,\dot{q})</math>.

L'intégrale qui doit ainsi être minimisée est appelée ''intégrale d'action'' :

=Equations d'Euler-Lagrange=

Ecrivons la variation de l'intégrale d'action pour une "petite variation" de la trajectoire, à savoir : <math>q_i(t)\to q_i(t)+\delta q_i(t)</math> avec <math>1\leq i\leq s</math> et <math>\delta q_i(t)</math> tous assez "petits" (proches de 0) et <math>\delta q_i(t_A)=\delta q_i(t_B)=0</math> (pour assurer qu'on part toujours du même point A pour arriver au même point B).

On peut écrire

<math>\delta S=\int_{t_A}^{t_B}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q})dt-\int_{t_A}^{t_B}L(q,\dot{q})dt=\int_{t_A}^{t_B}[L(q+\delta q,\dot{q}+\delta\dot{q})-L(q,\dot{q})]dt</math>

Au voisinage du minimum de <math>S</math>, cette variation doit tendre à s'annuler lorsque les <math>\delta q_i\,et\,les\, \delta\dot{q}_i\to 0</math> (penser à la dérivée d'une fonction en un point où elle atteint un extremum).

Comme les <math>\delta q_i\,et\,\delta\dot{q}_i</math> sont considérés comme infinitésimaux, on suppose qu'on peut s'en tenir à un développement de Taylor au premier ordre en négligeant les ordres supérieurs :

<math>\delta S=\int_{t_A}^{t_B}\sum_{i=1}^s\left[\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta \dot{q}_i\right]dt=0</math>

Or comme <math>\frac{d}{dt}(q_i+\delta q_i)=\dot{q}_i+\delta\dot{q}_i</math>, on a :
<math>\delta\dot{q}_i=\frac{d}{dt}{\delta{q}_i}</math>

On peut donc intégrer par parties :

<math>\int_{t_A}^{t_B}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\delta\dot{q}_idt=\left[\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\delta q_i\right]_{t_A}^{t_B}\,-\int_{t_A}^{t_B}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)\delta q_idt</math>

Le crochet s'annule par définition (avec les <math>q_i</math> aux extrémités de la trajectoire) ; on obtient finalement :

<math>\delta S=\int_{t_A}^{t_B}\sum_{i=1}^s \left[\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\right]\delta q_i dt</math>

Cette intégrale s'annule pour toutes les variations infinitésimales des <math>q_i\,et\,\dot{q}_i</math>, même si seule la coordonnée d'ordre i est non nulle, toutes les autres étant nulles ; on doit donc avoir

<math>\forall i\in{1,...,s},\,\,\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)=0</math>

Ces s équations sont les ''équations d'Euler-Lagrange'' (ou plus simplement, ''équations de Lagrange'').

==Interprétation==
En Mécanique classique élémentaire, les équations du mouvement d'un objet ponctuel s'écrivent

<math>\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}</math>  avec

On appellera ici ''force généralisée'' le vecteur à ''s'' coordonnées 
<math>F_i=\frac{\partial L}{\partial q_i}</math>
et ''impulsion généralisée'' le vecteur à ''s'' coordonnées 
<math>P_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}</math>

Alors les ''s'' équations de Lagrange s'écrivent

=Energie du système=

Par définition, l'énergie est une quantité ''scalaire'' (numérique) qui se conserve au cours du temps.

Or on a

<math>dL=\sum_{i=1}^n\left[\frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}d\dot{q}_i\right]=\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) \frac{dq_i}{dt}+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\frac{d\dot{q}_i}{dt}\right]dt=\sum_{i=1}^s\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i\right)dt=d\sum_{i=1}^s \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\dot{q}_i\right)</math>

On a donc

<math>d\left(\sum P_i\dot{q}_i\right)=dL</math>

(en omettant les mentions <math>i=1...n</math> sur <math>\sum</math>)

soit

On posera

(__''énergie mécanique du système''__)

=Lagrangiens de systèmes mécaniques élémentaires=

==Point matériel libre==

Considérons un corps ponctuel de masse ''m'', soumis à aucune force, dans l'espace repéré par un référentiel donné.

Son lagrangien ne doit pas dépendre des coordonnées d'espace <math>q_i</math>, car il n'a aucune localisation priviligiée dans l'espace ; ce lagrangien ne dépend que des coordonnées de vitesse <math>\dot{q}_i</math> dans le référentiel considéré.

De plus, il n'existe pas de direction privilégiée de l'espace, pour lui, l'espace est isotrope ; il ne dépend pas du vecteur vitesse  <math>\vec{v}=(\dot{x},\dot{y},\dot{z})</math>, mais seulement de la norme du vecteur-vitesse, ou <math>||\vec{v}||=\sqrt{\dot{x}^2 +\dot{y}^2+\dot{z}^2}</math>, ou de son carré, <math>||\vec{v}||^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2</math>

Comme <math>L=L(\vec{v})</math>, on peut écrire les équations du mouvement (c'est-à-dire de Lagrange) :

<math>0=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial v_i}\right)</math>

Soit

<math>p_i=\frac{\partial L}{\partial v_i}=C_i=Constante\,,1\leq i\leq 3</math>

On peut poser <math>p_i=mv_i</math> en partant de la définition connue en mécanique élémentaire, ce qui donne

On a bien un lagrangien qui dépend de la  vitesse, mais uniquement de la norme de celle-ci, et l'on a fait la jonction avec la mécanique élémentaire.

On retrouve pour l'impulsion ("quantité de mouvement") du corps ponctuel :

et l'énergie

L'énergie d'un point libre dans l'espace est donc son énergie cinétique, définie de manière classique et élémentaire.

==Point matériel dans un champ de forces dérivant d'un potentiel==

Une force <math>\vec{F}</math> dérivant d'un potentiel  <math>U</math> vérifie

<math>\vec{F}=-\vec{grad} U</math> notée aussi <math>\vec{F}=-\nabla U</math> (lire "nabla U") ou <math>\vec{F}=-\frac{\partial U}{\partial \vec{r}}</math>

soit

<math>F_i=-\frac{\partial U}{\partial x_i}</math>

Or on avait en général (en coordonnées cartésiennes)

<math>F_i=\frac{\partial L}{\partial x_i}</math>

d'où l'idée d'ajouter au lagrangien de la particule libre, <math>L=\frac{1}{2}mv^2</math>, un terme supplémentaire <math>-U</math> :

On pose donc (quitte à vérifier ensuite) pour la particule soumise à des forces dérivant du potentiel ''U'' :

Dans ces conditions, l'expression de l'énergie devient

et l'on retrouve

avec <math>E_c=\frac{1}{2}mv^2\,et\,E_p=U</math>

=Point matériel en théorie relativiste=

En relativité restreinte, nous savons que l'intervalle élémentaire d'espace-temps, <math>ds</math>, défini par

(On a <math>ds^2>0</math> pour toute particule matérielle, ce qui signifie également que sa vitesse, mesurée dans tout référentiel, est inférieure à <math>c</math>, vitesse de la lumière)

sur la trajectoire d'espace-temps d'un mobile, est un invariant relativiste (invariant par changement de référentiel galiléen).

On peut faire l'hypothèse que pour une particule matérielle libre, l'action n'est autre (à une constante multiplicative, d'une certaine dimension physique, près) que l'intervalle d'espace-temps :

<math>S=k\int_{t_A}^{t_B}ds=k\int_{t_A}^{t_B}\sqrt{c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}=k\int_{t_A}^{t_B}\sqrt{c^2-\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-\left(\frac{dy}{dt}\right)^2-\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}</math>

soit

D'où le lagrangien d'une particule libre, en théorie relativiste :

Pour préciser la signification de ''k'', calculons l'impulsion de la particule :

<math>p_i=\frac{\partial L}{\partial v_i}=\frac{kc}{2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(-2\frac{v_i}{c^2})=-\frac{kv_i}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}</math>

Or pour les vitesses négligeables par rapport à ''c'', on doit retrouver asymptotiquement la mécanique classique, à savoir <math>\vec{p}=m\vec{v}</math> ;

Pour <math>\frac{v}{c}\to 0</math>, <math>p_i\to -\frac{kv_i}{c}</math>

d'où l'identification

et (pour la particule libre) :

ce qui donne immédiatement

Calculons à présent l'énergie de la particule libre :

On retrouve la célèbre formule due à A. Einstein :

plus connue sous sa forme où la particule est au repos dans le référentiel considéré :

Voyons la relation entre cette définition de l'énergie et celle de la mécanique non-relativiste :
Si la vitesse <math>v</math> de la particule est petite par rapport à ''c'', on peut faire le développement limité de l'expression

<math>E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=mc^2\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}\right)</math>

soit

On retrouve l'énergie "de masse" du corps au repos, <math>mc^2</math>, puis l'énergie cinétique classique, <math>\frac{1}{2}mv^2</math>, puis des corrections relativistes de différents ordres.

''Ordres de grandeur'' : pour <math>v=1000 km/s</math>, 
<math>\frac{1}{2}mv^2=5.10^{11} m</math>
et
<math>\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}\simeq 4,16.20^6 m</math>

Le terme correctif est 100 000 fois plus petit que la valeur classique de l'énergie cinétique, donc négligeable. A ces vitesses, la mécanique classique reste une excellente approximation.

Nous pouvons conclure en donnant l'équation du mouvement d'une particule soumise à une force <math>\vec{F}</math> (définie par sa mesure dans le référentiel considéré) :

<math>\vec{F}=\frac{d}{dt}\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)</math>

(dans le cas d'une force dérivant d'un potentiel ''U'', le lagrangien devient <math>L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-U</math>)

Montrons que le travail d'une force appliquée à une particule est bien toujours la variation de l'énergie de cette particule :

<math>\vec{F}.\vec{dr}=\frac{d}{dt}\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right).\vec{dr}=\frac{d}{dt}\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right).\vec{v}dt=\vec{v}.d\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)=\vec{v}.\left(\frac{d\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2}\vec{v}.(-\frac{2\vec{v}.d\vec{v}}{c^2})\right)</math>
<math>=m\vec{v}.\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)d\vec{v}+\frac{\vec{v}}{c^2}(\vec{v}.d\vec{v})}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}=m\vec{v}.d\vec{v}\frac{1-\frac{v^2}{c^2}+\frac{v^2}{c^2}}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}</math>

<math>d\left(\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)=-\frac{1}{2}mc^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}(\frac{-2\vec{v}}{c^2}.d\vec{v})=-\frac{1}{2}mc^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}(\frac{-2d\vec{v}}{c^2}.\vec{v})=\frac{m\vec{v}.d\vec{v}}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}</math>

On a bien <math>\vec{F}.d\vec{r}=dE</math>

Juste une remarque : lorsque le corps accéléré par la force <math>\vec{F}</math> approche de la vitesse de la lumière (son mouvement étant observé dans le référentiel galiléen défini au départ), <math>E\to +\infty</math>, donc aucune force ne peut fournir un travail suffisant pour lui faire atteindre la vitesse de la lumière dans un référentiel galiléen donné.

Et la transformation de Lorentz, ainsi que sa conséquence, la transformation relativiste des vitesses, montre qu'aucun corps matériel ne peut atteindre la vitesse de la lumière, dans tout référentiel galiléen.

Sommaire

1 Introduction
2 Equations d'Euler-Lagrange
2.1 Interprétation
3 Energie du système
4 Lagrangiens de systèmes mécaniques élémentaires
4.1 Point matériel libre
4.2 Point matériel dans un champ de forces dérivant d'un potentiel
5 Point matériel en théorie relativiste

Introduction

Supposons que le système soit repéré à chaque instant par $Formule mathématique$ coordonnées d'espace indépendantes, $Formule mathématique$ cartésiennes ou curvilignes $Formule mathématique$ , et par leurs dérivées en fonction du temps, $Formule mathématique$ .
On appellera s le nombre de degrés de liberté du système.

La fonction $Formule mathématique$ est appelée trajectoire du système (dans un espace $Formule mathématique$ )

Faisons l'hypothèse qu'il existe une fonction $Formule mathématique$ , dont l'intégrale sur le parcours d'une "position" A (définie par $Formule mathématique$ ) occupée à l'instant $Formule mathématique$ à une "position" B (définie par $Formule mathématique$ atteinte à l'instant $Formule mathématique$ soit minimale pour la trajectoire effectivement parcourue par le système.
On la notera pour abréger $Formule mathématique$ .

L'intégrale qui doit ainsi être minimisée est appelée intégrale d'action :

$Formule mathématique$

Equations d'Euler-Lagrange

Ecrivons la variation de l'intégrale d'action pour une "petite variation" de la trajectoire, à savoir : $Formule mathématique$ avec $Formule mathématique$ et $Formule mathématique$ tous assez "petits" (proches de 0) et $Formule mathématique$ (pour assurer qu'on part toujours du même point A pour arriver au même point B).

On peut écrire

$Formule mathématique$

Au voisinage du minimum de $Formule mathématique$ , cette variation doit tendre à s'annuler lorsque les $Formule mathématique$ (penser à la dérivée d'une fonction en un point où elle atteint un extremum).

Comme les $Formule mathématique$ sont considérés comme infinitésimaux, on suppose qu'on peut s'en tenir à un développement de Taylor au premier ordre en négligeant les ordres supérieurs :

$Formule mathématique$

Or comme $Formule mathématique$ , on a :
$Formule mathématique$

On peut donc intégrer par parties :

$Formule mathématique$

Le crochet s'annule par définition (avec les $Formule mathématique$ aux extrémités de la trajectoire) ; on obtient finalement :

$Formule mathématique$

Cette intégrale s'annule pour toutes les variations infinitésimales des $Formule mathématique$ , même si seule la coordonnée d'ordre i est non nulle, toutes les autres étant nulles ; on doit donc avoir

$Formule mathématique$

Ces s équations sont les équations d'Euler-Lagrange (ou plus simplement, équations de Lagrange).

Interprétation

En Mécanique classique élémentaire, les équations du mouvement d'un objet ponctuel s'écrivent

$Formule mathématique$ avec

$Formule mathématique$

On appellera ici force généralisée le vecteur à s coordonnées
$Formule mathématique$
et impulsion généralisée le vecteur à s coordonnées
$Formule mathématique$

Alors les s équations de Lagrange s'écrivent

$Formule mathématique$

Energie du système

Par définition, l'énergie est une quantité scalaire (numérique) qui se conserve au cours du temps.

Or on a

$Formule mathématique$

On a donc

$Formule mathématique$

(en omettant les mentions $Formule mathématique$ sur $Formule mathématique$ )

soit

$Formule mathématique$

On posera

$Formule mathématique$

(énergie mécanique du système)

Lagrangiens de systèmes mécaniques élémentaires

Point matériel libre

Considérons un corps ponctuel de masse m, soumis à aucune force, dans l'espace repéré par un référentiel donné.

Son lagrangien ne doit pas dépendre des coordonnées d'espace $Formule mathématique$ , car il n'a aucune localisation priviligiée dans l'espace ; ce lagrangien ne dépend que des coordonnées de vitesse $Formule mathématique$ dans le référentiel considéré.

De plus, il n'existe pas de direction privilégiée de l'espace, pour lui, l'espace est isotrope ; il ne dépend pas du vecteur vitesse $Formule mathématique$ , mais seulement de la norme du vecteur-vitesse, ou $Formule mathématique$ , ou de son carré, $Formule mathématique$

Comme $Formule mathématique$ , on peut écrire les équations du mouvement (c'est-à-dire de Lagrange) :

$Formule mathématique$

Soit

$Formule mathématique$

On peut poser $Formule mathématique$ en partant de la définition connue en mécanique élémentaire, ce qui donne

$Formule mathématique$

On a bien un lagrangien qui dépend de la vitesse, mais uniquement de la norme de celle-ci, et l'on a fait la jonction avec la mécanique élémentaire.

On retrouve pour l'impulsion ("quantité de mouvement") du corps ponctuel :

$Formule mathématique$

et l'énergie

$Formule mathématique$

L'énergie d'un point libre dans l'espace est donc son énergie cinétique, définie de manière classique et élémentaire.

Point matériel dans un champ de forces dérivant d'un potentiel

Une force $Formule mathématique$ dérivant d'un potentiel $Formule mathématique$ vérifie

$Formule mathématique$ notée aussi $Formule mathématique$ (lire "nabla U") ou $Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

Or on avait en général (en coordonnées cartésiennes)

$Formule mathématique$

d'où l'idée d'ajouter au lagrangien de la particule libre, $Formule mathématique$ , un terme supplémentaire $Formule mathématique$ :

On pose donc (quitte à vérifier ensuite) pour la particule soumise à des forces dérivant du potentiel U :

$Formule mathématique$

Dans ces conditions, l'expression de l'énergie devient

$Formule mathématique$

et l'on retrouve

$Formule mathématique$

avec $Formule mathématique$

Point matériel en théorie relativiste

En relativité restreinte, nous savons que l'intervalle élémentaire d'espace-temps, $Formule mathématique$ , défini par

$Formule mathématique$ noté $Formule mathématique$

(On a $Formule mathématique$ pour toute particule matérielle, ce qui signifie également que sa vitesse, mesurée dans tout référentiel, est inférieure à $Formule mathématique$ , vitesse de la lumière)

sur la trajectoire d'espace-temps d'un mobile, est un invariant relativiste (invariant par changement de référentiel galiléen).

On peut faire l'hypothèse que pour une particule matérielle libre, l'action n'est autre (à une constante multiplicative, d'une certaine dimension physique, près) que l'intervalle d'espace-temps :

$Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

D'où le lagrangien d'une particule libre, en théorie relativiste :

$Formule mathématique$

Pour préciser la signification de k, calculons l'impulsion de la particule :

$Formule mathématique$

Or pour les vitesses négligeables par rapport à c, on doit retrouver asymptotiquement la mécanique classique, à savoir $Formule mathématique$ ;

Pour $Formule mathématique$ , $Formule mathématique$

d'où l'identification

$Formule mathématique$

et (pour la particule libre) :

$Formule mathématique$

ce qui donne immédiatement

$Formule mathématique$

Calculons à présent l'énergie de la particule libre :

$Formule mathématique$

On retrouve la célèbre formule due à A. Einstein :

$Formule mathématique$

plus connue sous sa forme où la particule est au repos dans le référentiel considéré :

$Formule mathématique$

Voyons la relation entre cette définition de l'énergie et celle de la mécanique non-relativiste :
Si la vitesse $Formule mathématique$ de la particule est petite par rapport à c, on peut faire le développement limité de l'expression

$Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

On retrouve l'énergie "de masse" du corps au repos, $Formule mathématique$ , puis l'énergie cinétique classique, $Formule mathématique$ , puis des corrections relativistes de différents ordres.

Ordres de grandeur : pour $Formule mathématique$ ,
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$

Le terme correctif est 100 000 fois plus petit que la valeur classique de l'énergie cinétique, donc négligeable. A ces vitesses, la mécanique classique reste une excellente approximation.

Nous pouvons conclure en donnant l'équation du mouvement d'une particule soumise à une force $Formule mathématique$ (définie par sa mesure dans le référentiel considéré) :

$Formule mathématique$

(dans le cas d'une force dérivant d'un potentiel U, le lagrangien devient $Formule mathématique$ )

Montrons que le travail d'une force appliquée à une particule est bien toujours la variation de l'énergie de cette particule :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

$Formule mathématique$

On a bien $Formule mathématique$

Juste une remarque : lorsque le corps accéléré par la force $Formule mathématique$ approche de la vitesse de la lumière (son mouvement étant observé dans le référentiel galiléen défini au départ), $Formule mathématique$ , donc aucune force ne peut fournir un travail suffisant pour lui faire atteindre la vitesse de la lumière dans un référentiel galiléen donné.

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Introduction

Equations d'Euler-Lagrange

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Energie du système

Lagrangiens de systèmes mécaniques élémentaires

Point matériel libre

Point matériel dans un champ de forces dérivant d'un potentiel

Point matériel en théorie relativiste